Daha hızlı yakınsama oranı nedeniyle hipotez testi için kullanın ?

Varsayalım ki X_n iid ve 0 olan bir hipotez testi yapmak istiyorum. Büyük n'm var ve Merkezi Limit Teoremini kullanabilirim. Ayrıca bir test yapmak olabilir bu test eşdeğer olmalıdır 0, 0 fazla olan, yakınsayan ki-kare, nereye normale yaklaşır. Çünkü daha hızlı bir yakınsama oranı vardır, ben testi istatistik için o kullanmamalısınız ve böylece ben daha hızlı bir yakınsama oranı elde edecek ve test daha verimli olacak? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Bu mantığın yanlış olduğunu biliyorum ama uzun süredir düşünüp araştırıyorum ve nedenini anlayamıyorum.

hypothesis-testing convergence delta-method

— Xu Wang
kaynak

Ne istediğini belli değil. Yakınsama hızını algılamak ne de açıklayabilir misiniz olan "hızlı" daha ? Oranı nasıl ölçüyorsunuz? İki testte hangi test istatistiklerini kullanıyorsunuz? Açıkçası bu seçimler bir fark yaratabilir.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber sorular için teşekkürler. "Daha yüksek oran" ı talep ediyorum çünkü n, n'nin kare kökünden daha büyük. Bu sezgi yanlış mı? Aklımda test istatistiği X-bar veya X-bar kare var.

— Xu Wang

Sanırım yanlış şeye odaklanıyorsunuz. Bu oran, örnekleme dağılımının sınırlayıcı olana ne kadar hızlı yaklaştığını gösterir - standart Normal veya . Yana büyük, değeri hiçbir fark yaratan --O ilgisi yok. Sorun , test istatistiğinin sınırlayıcı dağılım için ne kadar iyi olduğu ile değil, her testin gücü ile ilgilidir .

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— whuber

@whuber bu ayrıntılar için teşekkür ederim. Onları düşünüyorum ama hala anlamıyorum. X-bar ^ 2'nin yaklaşık varyansı, sonunda X-bar'ın yaklaşık varyansından daha küçük olmayacak mı? Ve bu X-bar ^ 2'nin X-bar'dan daha yüksek yakınsama hızına sahip olmasının bir sonucu değil mi? Temel yanlış anlamalarımı görmediğim için üzgünüm. Özlediğim büyük bir şey olduğunu biliyorum ve böyle düşünmeyi düzeltmeyi umuyorum.

— Xu Wang

Yaklaşık varyansın daha büyük veya daha küçük olması önemli değildir, çünkü önemli olan istatistiğin dağılımıdır. Bunu görmek için ve ile için bir t testi düşünün . istatistiği her zaman 100 katı varyansa sahiptir , ancak normalleştirme her iki gerçek test istatistiğinin dağıtılmasıyla sonuçlanır . Sizin durumunuzda, değişkeninin karesini almanın değişkenliği verdiğini unutmayın . Limitte bu dönüşüm, iki testin belirli bir seviyede verilen güçleri ile aynı olduğu anlamına gelir.

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— jbowman

Açıkladığınız her iki test de eşdeğerdir.

İki hipotezim varsa:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

o zaman onlar eşdeğerdir

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

Verilerin normal olduğu biliniyorsa, örnek ortalama ayrıca ortalama ve varyans (bilinen veya bilinmeyen) ile Normal olacaktır . $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

Verilerin Normal olduğu bilinmiyorsa, merkezi limit teoremini kullanabilirsiniz ve yukarıdakiler asimptotik olarak doğru olacaktır. Sen iddia "hızlı" daha ki-kare değişkene yakınsayacaktır normal birine araya gelecek. Bu, sonsuzluğa eğilimli olduğu için, $\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

Ama bu hikayenin tamamı değildir. Bir olasılık oranı testi veya en azından yaklaşık bir test yapıyoruz . ki kare veya normal test yapsak da oran aynı olacaktır. (Normal bir rastgele değişkenin karesinin ki kare dağılımını izlediğini hatırlayın.) Örnek ortalama ilgili normal veya t dağılımının 95. persentilinde çıkarsa, karelerin toplamı dağılımının 95. persentiline eşit olmalıdır (aynı sayı değildir, ancak bu önemli değildir). $\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
kaynak