Neden rastgele yürüyüşler birbiriyle ilişkili?

Ortalama olarak, Pearson korelasyon katsayısının mutlak değerinin , yürüme uzunluğundan bağımsız olarak herhangi bir bağımsız rastgele yürüyüş çiftine yakın bir sabit olduğunu gözlemledim .0.560.42

Birisi bu fenomeni açıklayabilir mi?

Herhangi bir rastgele dizide olduğu gibi, yürüme uzunluğu arttıkça korelasyonların küçülmesini beklerdim.

Deneylerim için, adım ortalama 0 ve adım standart sapma 1 olan rastgele gauss yürüyüşleri kullandım.

GÜNCELLEŞTİRME:

Öyle olduğunu, bu yüzden veri merkezi unuttum 0.56yerine 0.42.

İşte korelasyon hesaplamak için Python betiği:

import numpy as np
from itertools import combinations, accumulate
import random

def compute(length, count, seed, center=True):
    random.seed(seed)
    basis = []
    for _i in range(count):
        walk = np.array(list(accumulate( random.gauss(0, 1) for _j in range(length) )))
        if center:
            walk -= np.mean(walk)
        basis.append(walk / np.sqrt(np.dot(walk, walk)))
    return np.mean([ abs(np.dot(x, y)) for x, y in combinations(basis, 2) ])

print(compute(10000, 1000, 123))

$X_t$$Y_t$

• $\operatorname{Corr}(X, Y)$
• $t$$\operatorname{Corr}(X_t, Y_t)$
• Ancak zaman serisi ortalamalarına dayanan örnek istatistikler hiçbir şeye yakınlaşmayacak! Zaman içindeki çoklu gözlemlerin ortalaması alınarak hesapladığınız örnek korelasyon katsayısı anlamsızdır.

Sezgisel olarak, bunu (yanlış) tahmin edebilirsiniz:

1. $\{X_t\}$$\{Y_t\}$$\operatorname{Corr}(X, Y)$
2. $\hat{\rho}_{XY}$$\hat{\mu_X} = \frac{1}{T} \sum_{\tau = 1}^T X_\tau$$\rho_{XY}$$T \rightarrow \infty$

Sorun, bu ifadelerin hiçbirinin rastgele yürüyüşler için geçerli olmamasıdır! (Daha iyi davranış gösteren süreçler için geçerlidirler.)

Durağan olmayan işlemler için:

• $\{X_t\}$$\{Y_t\}$$\operatorname{Corr}(X_2, Y_3)$
• $\operatorname{Corr}(X, Y)$

Rastgele bir yürüyüş durumunda sorunlar?

1. $t$$\operatorname{E}[X]$$\rho_{XY}$
2. $\frac{1}{T} \sum_\tau X_\tau$$T \rightarrow \infty$
   • Sabit bir dizi için, zaman serileri ortalaması zamanla koşulsuz olan ortalamaya yaklaşacaktır. Ancak durağan olmayan bir dizilim için, zamanında koşulsuz olan hiçbir araç yoktur!

$X_1$$X_2$$Y_1$$Y_2$$-1$$1$

$\hat{\rho}_{XY}(T)$$t=1$$t=T$$[-1, 1]$$\omega$$\Omega$

• $X_t$$Y_t$
• $X_t$$Y_t$
• $X_t$$Y_t$

Bu konuda Google’ı daha fazla şartla kullanabilirsiniz spurious regression random walk.

$t$$\omega$$\Omega$$\Delta x_t = x_t - x_{t-1}$$\{\Delta x_t\}$

Büyük resim fikri:

Zaman içindeki çoklu gözlemler Örnek bir uzaydan gelen çoklu çizimlerle aynı DEĞİLDİR!

$\{ X_t \}$$t \in \mathbb{N}$$\Omega$

$t$$\Omega$

WHuber'un cevabına bağlantı:

$\Omega$$t$

$\hat{\rho}_{XY}(t)$$X_1\ldots X_t$$Y_1 \ldots Y_t$

$Z_t$

$$Z_t = |\hat{\rho}_{XY}(t)|$$

$0$$\mathcal{N}(0,1)$$E[Z_{10000}]$$\Omega$

Aşağıda, 10.000 hesaplama örneği için Pearson korelasyon katsayısı simülasyonunu kullandım. Her seferinde:

• $\mathcal{N}(0,1)$
• Aralarındaki örnek korelasyon katsayısını hesapladı.

Aşağıda 10000 hesaplanan korelasyon katsayıları üzerindeki ampirik dağılımı gösteren bir histogram bulunmaktadır.

$\hat{\rho}_{XY}(10000)$$[-1, 1]$$X$$Y$

$t=10,000$

Kod:

for i=1:10000 
  X = randn(10000,2); 
  Y = cumsum(X); 
  z(i) = corr(Y(:,1), Y(:,2));
end;
histogram(z,20);
mean(abs(z))

$1/2$$n$

Standart terimlerle ilgili karışıklık potansiyeli vardır. Soruda belirtilen mutlak korelasyon, onu oluşturan istatistiklerle birlikte - farklılıklar ve kovaryanslar - rastgele bir yürüyüşün herhangi bir gerçekleşen çiftine uygulanabilecek formüllerdir . Soru, birçok bağımsız gerçekleşmeye baktığımızda olanlarla ilgilidir. Bunun için rastgele yürüyüş sürecinden beklentiler almamız gerekiyor .

---

(Düzenle)

$(X,Y)$$(X_t,Y_t)$$X_{t+1},Y_{t+1}$$Y$$X$$Y$$Y$$X$$0$$1$

$15$$960$

Bu eğimler oldukça geniş olma eğilimindedir. Mükemmel olarak rastgele bu noktaların rastgele saçılma noktalarının daima sıfıra çok yakın eğimleri olacaktır . Burada ortaya çıkan kalıpları tanımlamamız gerekirse, 2B rastgele yürüyüşün çoğunun kademeli olarak bir konumdan diğerine geçtiğini söyleyebiliriz . (Ancak bunlar mutlaka başlangıç ​​ve bitiş noktalarının konumları değildir!) O zaman yaklaşık yarısı, o zaman bu göç çapraz yönde gerçekleşir - ve eğim buna göre yüksektir.

Bu yazının geri kalanı bu durumun bir analizini çiziyor.

---

$(X_i)$$(W_1, W_2, \ldots, W_n)$$W_i$$\sigma^2$

$x = (x_1, \ldots, x_n)$

$$\operatorname{V}(x) = \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2.$$

Bu değeri hesaplamanın iyi bir yolu, tüm kare farklılıklarının ortalamasının yarısını almaktır:

$$\operatorname{V}(x) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} (x_j-x_i)^2.$$

$x$$X$$n$

$$\mathbb{E}(\operatorname{V}(X)) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} \mathbb{E}(X_j-X_i)^2.$$

Farklılıklar, iid değişkenlerinin toplamıdır.

$$X_j - X_i = W_{i+1} + W_{i+2} + \cdots + W_j.$$

$W_k$$W_k$$\sigma^2$

$$\mathbb{E}((W_{i+1} + W_{i+2} + \cdots + W_j^2)) = (j-i)\sigma^2.$$

Bunu kolayca takip eder

$$\mathbb{E}(\operatorname{V}(X)) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{j \gt i} (j-i)\sigma^2 = \frac{n+1}{6}\sigma^2.$$

$x$$y$

$$\mathbb{E}(\operatorname{C}(X,Y)^2) = \frac{3n^6-2n^5-3n^2+2n}{480n^2(n-1)^2}\sigma^4.$$

Sonuç olarak, arasındaki kare korelasyon katsayısının beklentisidir.$X$$Y$$n$

$$\rho^2(n) = \frac{\mathbb{E}(\operatorname{C}(X,Y)^2)}{\mathbb{E}(\operatorname{V}(X))^2} = \frac{3}{40}\frac{3n^3-2n^2+3n-2}{n^3-n}.$$

$9/40$$0.47$$\rho(n)$

---

$\rho^2(n)$$1000$$\rho^2(n)$$n$$|\rho(n)|$

RŞekil üretmek için kod budur .

f <- function(n){
  m <- (2 - 3* n + 2* n^2 -3 * n^3)/(n - n^3) * 3/40 
}
n.sim <- 1e4
par(mfrow=c(1,4))
for (n in c(3, 10, 30, 100)) {
  u <- matrix(rnorm(n*n.sim), nrow=n)
  v <- matrix(rnorm(n*n.sim), nrow=n)
  x <- apply(u, 2, cumsum)
  y <- apply(v, 2, cumsum)
  sim <- rep(NA_real_, n.sim)
  for (i in 1:n.sim)
    sim[i] <- cor(x[,i], y[,i])^2
  z <- signif(sqrt(n.sim)*(mean(sim) - f(n)) / sd(sim), 3)
  hist(sim,xlab="rho(n)^2", main=paste("n =", n), sub=paste("Z =", z))
  abline(v=mean(sim), lwd=2, col="Red")
  abline(v=f(n), col="Blue", lwd=2, lty=3)
}