Normal dağılmış hatalar ve merkezi limit teoremi

Wooldridge'in Giriş Ekonometrisinde bir teklif var:

Hatalar normal dağılımını haklı argüman genellikle böyle bir şey yapar: çünkü etkileyen birçok farklı gözlenmeyen faktörler toplamıdır , bunu sonuçlandırmak için merkezi limit teoremini çağırabileceği yaklaşık bir normal dağılım vardır. $u$ $y$ $u$

Bu alıntı doğrusal model varsayımlarından biriyle ilgilidir, yani:

$u \sim N(μ, σ^2)$

burada $u$ , popülasyon modelindeki hata terimidir.

Şimdi, bildiğim kadarıyla, Merkezi Limit Teoremi,

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(burada $\overline{Y_i}$ , ortalama $μ$ ve varyans olan herhangi bir popülasyondan alınan rastgele örneklerin ortalamalarıdır $σ^2$ )

standart normal değişkene olarak yaklaşır $n \rightarrow \infty$ .

Soru:

asimtotik normallerinin nasıl $Z_i$ ima ettiğini $u \sim N(μ, σ^2)$

— Kaz
kaynak

Bu, iD rastgele değişkenlerin toplamları cinsinden CLT sonucunun ifade edilmesiyle daha iyi anlaşılabilir. Sahibiz

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ} \sim N (0, 1) asymptotically

$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$

Çarpma ile bölüm ve aslında kullanımı elde etmek için $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $Var(cX) = c^2 Var(X)$

\bar{X} - μ \sim N (0, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Şimdi eklemek LHS'nin ve aslında kullanımı elde etmek üzere $\mu$ $\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Son olarak, ile çarpın ve yukarıdaki iki sonucu kullanın. $n$

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2})

$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$

Ve bunun Wooldridge'in ifadesiyle ne ilgisi var? Hata, birçok iid rasgele değişkenin toplamı ise , daha önce görüldüğü gibi, normal olarak yaklaşık olarak dağıtılacaktır. Ancak burada bir sorun var, yani gözlemlenmeyen faktörlerin aynı şekilde dağılması gerekmeyecek ve bağımsız bile olmayabilirler!

Bununla birlikte, CLT, bazı ek düzenlilik koşulları altında, bağımsız olarak aynı olmayan dağıtılmış rastgele değişkenlere ve hatta hafif bağımlılık vakalarına başarıyla genişletilmiştir. Bunlar esasen, toplamdaki hiçbir terimin asimptotik dağılım üzerinde orantısız bir etki göstermediğini garanti eden koşullardır, ayrıca CLT'deki wikipedia sayfasına bakınız . Bu sonuçları elbette bilmenize gerek yok; Wooldridge'in amacı sadece sezgi sağlamaktır.

Bu yardımcı olur umarım.

— JohnK
kaynak

Çalışma alanında birçok rastgele değişkenin (en azından modelleme için kullanılanların) Cauchy dağılımı gibi 1. anları tanımlamadığını (yazar ekonometri çalıştığından beri) ekleyeceğim. Dolayısıyla CLT bu alanda güvenebileceğiniz kişi değil.

— Alman Demidov