Binom olasılığından önce Jeffreys

Eğer bir binom olasılık parametresi için bir Jeffreys kullanırsam, bu bir dağıtımı kullanmayı gerektirir. $\theta$ $\theta \sim beta(1/2,1/2)$

yeni bir referans çerçevesine dönüştürürsem, açıkça de dağıtımı olarak dağıtılmaz. $\phi = \theta^2$ $\phi$ $beta(1/2,1/2)$

Benim sorum Jeffreys'nin yeniden parametrelendirmeye ne kadar değişmez olduğu? Dürüst olmak gerekirse konuyu yanlış anladığımı düşünüyorum ...

En iyi,

Ben

bayesian jeffreys-prior

— ben18785
kaynak

Jeffreys'in önceliği, bir parametrelendirmeden önce bir Jeffreys ile başlayıp uygun değişken değişikliğini çalıştırmanın, bu yeni parametrelendirmeden önce doğrudan Jeffreys'i türetmekle aynı olması anlamında değişmez. Aslında, eşdeğişken değişmezden daha uygun bir terim olacaktır .

— Xi'an

@ ben18785: istatistiklere bakın.stackexchange.com/questions/38962/…

— Zen

Ayrıca bkz. Math.stackexchange.com/questions/210607/… (aşağı yukarı aynı soruyu düşünüyorum, ancak farklı bir sitede).

— Nathaniel

Ayrıca bkz. İstatistik.stackexchange.com/questions/139001/…

— Christoph Hanck

Hadi , burada tekdüze bir işlevidir ve tersi olmasına izin verir , böylece . Jeffrey'in önceki dağıtımını iki şekilde elde edebiliriz: $\phi = g(\theta)$ $g$ $\theta$ $h$ $g$ $\theta = h(\phi)$ $p_{J}(\phi)$

Binom modeliyle başlayın (1) ile model reparameterize elde etmek için ve bu model için Jeffrey'in önceki dağıtımını edinin . $p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}$ $\begin{equation} \label{original} p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y} \end{equation}$ $\phi = g(\theta)$ $p (y | φ) = (\binom{n}{y}) h (φ)^{y} (1 - h (φ))^{n - y}$ $p(y | \phi) = \binom{n}{y} h(\phi)^{y} (1-h(\phi))^{n-y}$ $p_{J}(\phi)$
Jeffrey'in önceki dağıtımını orijinal Binom model 1'den alın ve $p_{J}(\theta)$ $\phi$ $p_{J} (φ) = p_{J} (h (φ)) | \frac{d h}{d φ} | .$ $p_{J}(\phi) = p_{J}(h(\phi)) |\frac{dh}{d\phi}|.$

Yeniden parametrelendirmeye değişmez olmak , her iki şekilde türetilmiş yoğunluklarının aynı olması gerektiği anlamına gelir. Jeffrey'in önceliği bu özelliğe sahiptir [Referans: Bayes İstatistiki Yöntemlerinde İlk Ders P. Hoff .] $p_{J}(\phi)$

Yorumunuzu cevaplamak için. Jeffrey'in önceki dağıtımını Binom modeli Fisher bilgisini olasılığının logaritmasını alarak ve ve Fisher bilgileri $p_{J}(\theta)$

p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}

$p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y}$

l

$l$

l

$l$

\begin{aligned} l := \log (p (y | θ)) & \propto y \log (θ) + (n - y) \log (1 - θ) \\ \frac{\partial l}{\partial θ} & = \frac{y}{θ} - \frac{n - y}{1 - θ} \\ \frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} & = - \frac{y}{θ^{2}} - \frac{n - y}{(1 - θ)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} l := \log(p(y | \theta)) &\propto y \log(\theta) + (n-y) \log(1-\theta) \\ \frac{\partial l }{\partial \theta} &= \frac{y}{\theta} - \frac{n-y}{1-\theta} \\ \frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} &= -\frac{y}{\theta^{2}} - \frac{n-y}{ (1-\theta)^{2} } \end{align*}$

\begin{aligned} I (θ) & = - E (\frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} | θ) \\ = \frac{n θ}{θ^{2}} + \frac{n - n θ}{(1 - θ)^{2}} \\ = \frac{n}{θ (1 - θ)} \\ \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} I(\theta) &= -E(\frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} | \theta) \\ &= \frac{n\theta}{\theta^{2}} + \frac{n - n \theta}{(1-\theta)^{2}} \\ &= \frac{n}{\theta ( 1- \theta)} \\ &\propto \theta^{-1} (1-\theta)^{-1}. \end{align*}$ Bu model için Jeffrey'in , .

\begin{aligned} p_{J} (θ) & = \sqrt{I (θ)} \\ \propto θ^{- 1 / 2} (1 - θ)^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{align*} p_{J}(\theta) &= \sqrt{I(\theta)} \\ &\propto \theta^{-1/2} (1-\theta)^{-1/2} \end{align*}$

beta (1 / 2, 1 / 2)

$\texttt{beta}(1/2, 1/2)$

— Marko Lalović
kaynak

Cevabınız için teşekkürler. Korkarım ki biraz yavaş davranıyorum. Hangi anlamda bir olasılıktan bir öncelik elde edebiliriz? Onlar iki ayrı şey ve ikincisi eski anlamına gelmez ...

— ben18785

Yukarıda Binom model olasılığından bir Jeffrey'in önceki ' alarak cevap verdim .

p_{J} (θ)

$p_{J}(\theta)$

— Marko Lalović