Birisi nasıl bağımlılık ve sıfır kovaryans olabileceğini gösterebilir mi?

Birisi Greg'in yaptığı gibi gösterebilir, ancak daha ayrıntılı olarak, rastgele değişkenler nasıl bağımlı olabilir, ancak sıfır kovaryansa sahip olabilir mi? Greg, ben bir poster, bir daire kullanarak bir örnek verir burada .

Birisi bu işlemi birkaç aşamada gösteren bir dizi adım kullanarak daha ayrıntılı olarak açıklayabilir mi?

Ayrıca, psikolojiden bir örnek biliyorsanız, lütfen bu kavramla ilgili bir örnekle açıklayınız. Lütfen açıklamanızda çok hassas ve sıralı olun ve sonuçlardan bazılarının ne olabileceğini de belirtin.

Buradaki temel fikir, kovaryansın sadece belirli bir bağımlılık türünü ölçmesidir , bu nedenle ikisi eşdeğer değildir. özellikle,

• Kovaryans , iki değişkenin doğrusal olarak ilişkili olduğunun bir ölçüsüdür . İki değişken doğrusal olarak ilişkili değilse, bu kovaryansa yansıtılmaz. Daha ayrıntılı bir açıklama burada bulunabilir .

• Rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık , ikisi arasında "kendileri" yerine "birlikte" farklı hareket etmelerine neden olan her türlü ilişkiyi ifade eder. Spesifik olarak, rasgele değişkenler arasındaki bağımlılık, ikisi arasındaki ortak dağılımlarının marjinal dağılımlarının bir ürünü olmamasına neden olan herhangi bir ilişkiyi altüst eder . Bu, lineer ilişkileri ve daha birçoğunu içerir.

• İki değişken doğrusal olmayan bir şekilde ilişkiliyse, potansiyel olarak 0 kovaryansa sahip olabilirler, ancak yine de bağımlıdırlar - burada birçok örnek verilmiştir ve wikipedia'dan aşağıdaki bu çizim en alt satırda bazı grafik örnekler vermektedir:

  

• Rastgele değişkenler arasındaki sıfır kovaryans ve bağımsızlığın eşdeğer koşullar olduğu bir örnek, değişkenlerin müştereken normal olarak dağıtıldığı zamandır (yani, iki değişken , normal olarak ayrı ayrı dağıtılan iki değişkenin eşdeğeri olmayan iki değişkenli bir normal dağılımı izler ). Bir başka özel durum, bernoulli değişken çiftlerinin yalnızca ve bağımsız olmaları durumunda ilişkisiz olmasıdır (teşekkürler @cardinal). Ancak, genel olarak bu ikisinin eşdeğer olduğu kabul edilemez.

Bu nedenle, genel olarak, iki değişkenin sadece ilişkisiz göründükleri için bağımsız oldukları sonucuna varılamaz (örneğin, hiçbir korelasyon bulunmayan sıfır hipotezini reddetmekte başarısız olunur). Birinin, sadece bir korelasyon testinde durmakla kalmayıp, birbiriyle ilişkili olup olmadığını belirlemek için veri çizmesi önerilir. Örneğin, (teşekkürler @gung), eğer bir lineer regresyon (sıfır olmayan korelasyon için test etmek) ve anlamlı olmayan bir sonuç bulsaydı, değişkenlerin ilişkili olmadığı sonucuna varmak cazip gelebilir, ancak ' sadece doğrusal bir ilişkiyi araştırdık .

Psikoloji hakkında çok şey bilmiyorum ama oradaki değişkenler arasında doğrusal olmayan ilişkiler olabileceği mantıklı. Oyuncak örneği olarak, bilişsel yeteneğin yaşla doğrusal olmayan bir şekilde ilişkili olması mümkündür - çok genç ve çok yaşlı insanlar 30 yaşındakiler kadar keskin değildir. Eğer kişi bilişsel abdestin bir yaşa karşı bir ölçüsünü çizecek olsaydı, bilişsel yeteneğin ılımlı bir yaşta en yüksek olduğunu ve bunun etrafında çürümesini bekleyebilir, ki bu doğrusal olmayan bir model olurdu.

Bir korelasyonu veya kovaryansı öğretmenin / görselleştirmenin standart bir yolu, verileri çizmek, 'x' ve 'y' ortalamalarında çizgiler çizmek, ardından 2 araç noktasından aşağıdaki gibi tek tek veri noktalarına dikdörtgenler çizmektir:

Sağ üst ve alt sol kadranlardaki (örnekte kırmızı) dikdörtgenler (noktalar) korelasyon / kovaryans için pozitif değerlere katkıda bulunurken, sol üst ve sağ alt kadranlardaki (örnekte mavi) dikdörtgenler (örnekte mavi) negatif katkıda bulunur korelasyon / kovaryans değerleri. Kırmızı dikdörtgenlerin toplam alanı mavi dikdörtgenlerin toplam alanına eşitse, pozitifler ve negatifler iptal edilir ve sıfır kovaryans elde edersiniz. Eğer kırmızıda daha fazla alan varsa kovaryans pozitif olur ve mavide daha fazla alan varsa kovaryans negatif olur.

Şimdi önceki tartışmadan bir örneğe bakalım:

Tek tek noktalar bir parabol izler, bu nedenle bağımlıdırlar, eğer 'x' biliyorsanız, 'y' yi tam olarak bilirsiniz, ancak her kırmızı dikdörtgen için eşleşen bir mavi dikdörtgen olduğunu görebilirsiniz, böylece son kovaryans 0 olur .

Verilerin temel olarak araçlarla dikey veya yatay bir eksen etrafında simetrik bir paterni takip etmesi durumunda, ortak varyans sıfıra oldukça yakın olacaksa basit bir test. Örneğin, simetri y ekseni civarındaysa, belirli bir y değerine sahip her bir değer için, ortalama x'ten pozitif bir x farkı ve ortalama x'ten negatif bir fark olduğu anlamına gelir. Bu değerler için y * x eklenmesi sıfır olacaktır. Bunu diğer cevaplardaki örnek grafiklerin koleksiyonunda güzel bir şekilde görebilirsiniz. Sıfır ko-varyans verecek, ancak bağımsızlık sağlayamayacak başka desenler de vardır, ancak birçok örnek simetri olup olmadığına bakılarak kolayca değerlendirilebilir.

Wikipedia'dan bir örnek :

"Değişkenler bağımsızsa, Pearson korelasyon katsayısı 0'dır, ancak tersi doğru değildir, çünkü korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki sadece doğrusal bağımlılıkları tespit eder. Örneğin, rastgele değişken X'in simetrik olarak sıfıra dağıldığını ve Y = X ^ olduğunu varsayalım. 2. Daha sonra Y tamamen X tarafından belirlenir, böylece X ve Y mükemmel bir şekilde bağımlıdır, ancak korelasyonları sıfırdır; ilişkisizdir. Bununla birlikte, özel durumda X ve Y birlikte normal olduğunda, ilişkisizlik bağımsızlığa eşdeğerdir. "