Koşullu olasılıklar - Bayesinizme özgü mü?

Koşullu olasılıkların Bayesizm'e özgü olup olmadığını veya daha çok istatistik / olasılık insanları arasında birkaç düşünce okulu arasında paylaşılan genel bir kavram olup olmadığını merak ediyorum.

Bir çeşit olduğunu varsayıyorum, çünkü kimsenin yapamayacağını varsayıyorum $p(A,B) = p(A|B)p(B)$ mantıklı bir şey, bu yüzden sık sık, en azından teorik olarak hemfikir olurlar, Bayes çıkarımına karşı, koşullu olasılıklar nedeniyle değil, daha pratik nedenlerden dolayı uyarırlar.

Diğer ve mükemmel yeterli cevapları toplamak için, doğrusal ve genelleştirilmiş doğrusal modellerde bulunan koşullu olasılık modellerinin örnekleri, bu tür modellerin tanımı regresörlere veya ortak değişkenlere bağlıdır:

$$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$$

Ve koşullu olasılık dağılımları kavramı, ölçü teorisinde istatistiklere atıfta bulunulmadan ve hatta "Bayesinizm" e daha az tanımlanır. Örneğin, Rényi koşullu versiyonlardan bir olasılık teorisi geliştirdi. Ayrıca, resmi ölçü teorisinde koşullandırmanın,$\sigma$-alan $\mathfrak{S}$bir olay yerine. koşullu beklenti $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$ o zaman bir $\mathfrak{S}$-Ölçülebilir fonksiyon

$$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$$ hepsi için $\mathfrak{S}$ ölçülebilir fonksiyonlar $Z$. ( Martingal kavramı ile gösterildiği gibi .)

Olduğu gibi tüm olasılık teorisi , koşullu olasılık frequentist istatistik vs Bayesian ile ilgisi yoktur. Bayes teoremi bile “Bayesci” değildir, ancak olasılıkla ilgili genel bir teoremdir, örneğin , herhangi bir önceliğe gerek kalmadan taban oranı için olasılıkları düzeltmek için veya olasılık için öznel Bayes yorumu yapmak için kullanılabilir .

"Eğer bir kadın olduğunuz göz önüne alındığında veritabanı mühendisi işini alma olasılığı nedir?" Veya "Western blot testinin pozitif olduğu göz önüne alındığında HIV bulaşma olasılığı nedir?" ihtimal. Lojistik regresyon modelleri koşullu olasılık vb.

Ayrıca bkz . Bayesci ve sıkça yapılan tartışmalar için * matematiksel * bir temel var mı? ve Bayesci ve Olasılıkların Sıkça Yorumlanması

Sık kullanılan yöntemler de koşullu olasılıklar kullanır. P-değeri koşullu bir olasılıktır. Tek sorun, bunun çok yararlı veya sezgisel bir koşullu olasılık olmamasıdır . Bir korelasyon katsayısı hesaplarsak ve makinemiz “p = .03” çıkarsa, gerçekte söylediği şey:

$p(D^*|H_0) = .03$

Nerede $D^*$ gözlenen verilere veya daha fazla aşırı verilere (yani, gözlemlenen sonucu veya aynı yönde daha güçlü bir sonucu üreten veriler) ve $H_0$ sıfır hipotezi (ve onunla birlikte gelen tüm varsayımlar).

Sıfır hipotezine bağlı olarak, verilerimizi veya daha aşırı verilerimizi gözlemleme olasılığımız .03'tür. Bu, Bayes teoreminin tamamen bulunmadığı koşullu bir olasılık. Bence, genellikle o kadar yararlı değil (eğer herhangi bir nedenden ötürü bu olasılığı elde etmeye çalışmıyorsanız).

Koşullu olasılıkların Bayesinizme özgü olduğunu söylemenin adil olduğunu düşünmüyorum.

(Teori uzmanlarını ölçün, lütfen beni düzeltmekten çekinmeyin.)

Koşullu bir olasılığı görüntülemenin bir yolu - özellikle de eşit derecede olası sonuçlarınız olduğunda - olasılık hesaplamanızı bir alt kümeye dayandırmaktır $\Omega^{\prime} \subset \Omega$, nerede $\Omega$ örnek alanıdır.

Örneğin, bir ankette toplanan bazı hayali verileri (Not: "önceki" bilgimiz yok) düşünün:

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$$ Yukarıda araştırılan herhangi bir kişiyi seçme olasılığının eşit derecede olası olduğunu varsayalım. Örnek alanı düşünün$\Omega$ Ankete katılan herkesin $\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$, nerede $\mathcal{A}$ boş olmayan $\sigma$- alt kümelerinin cebiri $\Omega$.

Herhangi bir olay için eşit derecede olası bir olayın tanımlanmasıyla $A \in \mathcal{A}$,

$$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ nerede $|\cdot|$ "Belirlenen kardinalite" anlamına gelir.

Diyelim ki, bir kadın olduğunuz göz önüne alındığında bir TV'ye sahip olma olasılığı, $A$ kadın olma olayı ol ve $B$ bir TV'ye sahip olma olayı olarak, olasılığı şu şekilde hesaplayacağız:

$$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$$ ve tedavi ediyoruz $A$ yeni örnek alanımız olarak $\Omega^{\prime} = A$. Ama yazabileceğimizi fark et $$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$ Bu kesinlikle koşullu olasılığın tanımıdır ve Bayes teoremini kullanmaz. Tek yaptığımız örnek alanımızı kısıtlamak.

Bu partiye biraz geç kaldım, ancak gelecekteki araştırmacılar için yararlı olabilirse, diğer mükemmel cevaplara daha felsefi bir cevap ekleyeceğimi düşündüm.

Varsayımsal bir frekansçıysanız, koşullu olasılığın tanımı bölünme sınır yasasından kaynaklanır. Açıkça,$f_N (A \land E)$ kaç kez ol $A\land E$ doğrudur $N$ denemeler ve izin $f_N (E)$ kaç kez ol $E$ doğrudur $N$denemeler. Biz tanımlarız

$$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$$ ve $$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$$ Sonunda $p(A | E )$ zamanların fraksiyonu olmak $E$ doğru mu $A$ sonsuz sınırda da doğrudur: $$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$$ Diyelim $p(E)$ sıfır değil, elimizde $$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$$