Bir MA sürecinin ters çevrilebilir olup olmadığını neden önemsiyoruz?

Bir MA sürecinin ters çevrilebilir olup olmadığını neden önemsediğimizi anlamakta sorun yaşıyorum.

Lütfen yanılıyorsam beni düzeltin, ancak bir AR sürecinin nedensel olup olmadığını neden önemsediğimizi anlayabiliyorum, yani, bir parametre ve beyaz gürültünün toplamı olarak "yeniden yazabiliriz" - yani hareketli bir ortalama süreç. Eğer öyleyse, AR sürecinin nedensel olduğunu kolayca görebiliriz.

Ancak, tersine çevrilebilir olduğunu göstererek bir MA sürecini AR süreci olarak temsil edip edemeyeceğimizi neden önemsediğimizi anlamakta zorlanıyorum. Neden umursadığımızı gerçekten anlamıyorum.

Herhangi bir fikir harika olurdu.

Tersinirlik gerçekten hemen hemen herhangi bir Gauss olmayan ters çevrilebilir MA, çünkü büyük bir olay değil $(q)$ model, ters çevrilebilir MA için değiştirilebilir $(q)$ parametre değerleri değiştirilerek aynı işlemi temsil eden bir model. Bu, MA (1) modeli için çoğu ders kitabında belirtilmiştir, ancak daha genel olarak doğrudur.

Bir örnek olarak, MA (2) modeli dikkate

$$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$$ $w_t$ varyans ile beyaz gürültüdür $\sigma_w^2$ . Bu ters çevrilemez bir model değildir, çünkü $\theta(B)$ birim çemberin içinde 0,5'e eşit bir köke sahiptir. Bununla birlikte, alternatif MA düşünün (2) modeli olarak karşılıklı değeri, bu kök değiştirerek elde edilen model formu alır, öyle ki 2 $$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$$ burada$w_t'$ varyans$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . (1) ve (2) modellerinin aynı otokovaryans işlevlerine sahip olduğunu kolayca doğrulayabilir ve böylece işlem Gaussian ise veriler için aynı dağılımı belirtebilirsiniz.

Modeli , θ 1 , θ 2 , … , θ q , σ 2 w'den verilerin dağılımına bire bir eşleme olacak şekilde tanımlanabilir yapmak için , parametre alanı konvansiyonel olarak ters çevrilebilir olanla sınırlıdır modelleri. Model, daha sonra AR doğrudan konabilir, çünkü bu, özellikle kongre tercih edilir ( ∞ ) katsayıları ile formunda π 1 , π 2 , ... basit fark denklemi tatmin İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin ( B ) π i$\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$$(\infty)$$\pi_1,\pi_2,\dots$$\theta(B)\pi_i=0$ .

Bu kısıtlamayı parametre alanına dayatmasaydık, bir MA $(q)$ olasılık fonksiyonunun genel olarak $2^q$ lokal optima (MA polinomunda $q$ farklı gerçek kökleri varsa ) olurdu, bu kaçınmak istediğimiz bir şeydir .

MA-polinomunun tam olarak birim dairede bir veya daha fazla kökü olduğu durumlar dışında, yukarıdaki tekniği kullanarak beyaz gürültü varyansında karşılık gelen bir değişiklikle kökleri her zaman birim dairenin dışına taşıyabilirsiniz.