Durağanlık doğrusal bir kombinasyon altında korunuyor mu?

Sabit olan iki zaman serisi sürecimiz olduğunu düşünün: .$x_t,y_t$

Mi , , aynı zamanda sabit? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Herhangi bir yardım mutluluk duyacağız.

MA temsili olduğu için evet diyebilirim.

Belki de şaşırtıcı bir şekilde, bu doğru değildir. (Bununla birlikte, iki zaman serisinin bağımsızlığı bunu gerçekleştirecektir.)

Ben durağan demek için "istikrarlı" anlıyorum , çünkü bu kelimeler sitemizde en az biri de dahil olmak üzere milyonlarca arama isabeti yerine kullanılabilir .

Kar¸ıt için, izin sabit olmayan bir sabit zaman, her hangi bir seri olarak bağımsızdır , olan marjinal dağılımlar simetrik çevresinde ve . Tanımlamak$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Bu grafikler, bu yayında tartışılan üç zaman serisinin bölümlerini göstermektedir. , standart Normal dağılımından bir dizi bağımsız çekiliş olarak simüle edildi.$X$

Olduğunu göstermek için sabit olduğu için, bu ortak dağıtım göstermek gerekir için herhangi bir bağlı değildir . Ancak bu doğrudan simetrisinden ve bağımsızlığından . $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

(512 değerlerinin bir dizisi için bu gecikmeli saçılım ) müşterek değişkenli dağılımları olduğu iddiasını göstermektedir bağımsız ve simetrik: olarak beklenmektedir. (Bir "gecikmeli dağılım ", karşılaştırıldığında değerlerini görüntüler; değerleri gösterilir.)$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Bununla birlikte, seçtik,$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

için bile ve aksi takdirde$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Yana sabit olmayan, belli ki bu iki ifade herhangi için farklı dağılımlarına sahip ve serisi nereden, sabit değildir. İlk şekildeki renkler , sıfır değerleri diğerlerinden ayırarak bu durağanlığı vurgulamaktadır .$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

İki boyutlu süreci düşünün

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Kesinlikle sabitse veya alternatif olarak, ve işlemleri birlikte sabitse , de kesinlikle durağan olacaktır.$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

@ Whuber örneğinde

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Bu kesinlikle durağan olup olmadığını incelemek için olasılık dağılımını elde etmeliyiz. Değişkenlerin kesinlikle sürekli olduğunu varsayın. Bazı ,$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Whuber'ın örneğine bağlı kalarak, iki dal farklı olasılık dağılımlarıdır çünkü sıfır etrafında bir simetrik sahiptir. $x_t$

Şimdi katı durağanlığı incelemek için, indeksi bir tam sayı . Sahibiz$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Sıkı durağanlık için,

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

Ve bu eşitliğe sahip değiliz , çünkü diyelim ki eğer ve garipse, o zaman tuhaftır, bu durumda$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

süre

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Bu yüzden ortak katı hareketliliğimiz yok ve işlevine ne olacağına dair hiçbir garantimiz yok . $f(x_t,y_t)$

ve arasındaki bağımlılığın , eklem sıkı durağanlığının kaybı için gerekli fakat yeterli bir koşul olmadığını . Bu işi yapan dizine bağımlılığının ek varsayımıdır .$x_t$$y_t$$y_t$

Düşünmek

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Eğer kişi için önceki işi , ortak sıkı durağanlığın burada .$(q_t)$

Bu iyi bir haber çünkü bir sürecin endekse bağlı olması ve kesinlikle durağan olması için çok sık yapmamız gereken modelleme varsayımları arasında değil. Bu nedenle pratikte, marjinal katı durağanlığımız varsa, bağımlılık varlığında bile ortak katı durağanlık bekliyoruz (tabii ki kontrol etmeliyiz).

MA temsili olduğu için evet diyebilirim.

Bir gözlem. MA temsiline sahip olmanın zayıf durağanlık anlamına geldiğini düşünüyorum, güçlü durağanlık anlamına gelip gelmediğinden emin değilim.