Mantel testi asimetrik matrislere genişletilebilir mi?

Mantel testi genellikle simetrik uzaktan / fark matrisleri uygulanır. Anladığım kadarıyla, testin bir varsayımı, farklılıkları tanımlamak için kullanılan önlemin en azından yarı metrik olması gerektiğidir (bir metriğin standart gereksinimlerini karşılar ancak üçgen eşitsizliğini karşılar).

Simetri varsayımı gevşetilebilir mi (ön ölçüm) Bu durumda permütasyon testini tam matris kullanarak uygulamak mümkün müdür?

Uzatılması gerekmiyor. Mantel'in 1967 makalesinde sunulan orijinal Mantel testi, asimetrik matrislere izin verir. Bu testin iki mesafe matrisi X ve Y'yi karşılaştırdığını hatırlayın .$n\times n$$X$$Y$

Bu noktada, aşağıda geliştirilecek istatistiksel prosedürleri kolaylaştıracak istatistiklerimizde bir değişiklik bekleyebiliriz. Değişiklik kısıtlamasını kaldırmak ve sadece i ≠ j kısıtlamasıyla değiştirmek içindir . Burada X, i j = X j ı ve Y, I J = Y, j i , modifikasyon etkisi tam olarak toplamı değeri ikiye katlamak için basitçe. Bununla birlikte, daha sonra geliştirilen prosedürler, mesafe ilişkileri simetrik olmasa bile, yani X'in mümkün olduğu durumlarda uygundur.$i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$ ve Y i j ≠ Y j i ; O zaman kapsanan özel bir durum şudur ki burada X i j =- X j i , Y i j =- Y j i ...$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(4. bölümde; vurgu eklenmiştir).

Simetri , mesafe matrislerini depolamak ve işlemek için bir "dist" sınıfının nesnelerini kullanan paket gibi birçok yazılımda yapay bir durum gibi görünmektedir . Manipülasyon fonksiyonları, mesafelerin simetrik olduğunu varsayar. Bu nedenle prosedürünü asimetrik matrislere uygulayamazsınız - ancak bu tamamen bir yazılım sınırlamasıdır, testin kendisinin bir özelliği değildir.ade4Rmantel.rtest

Testin kendisi matrislerin herhangi bir özelliğini gerektirmiyor gibi görünüyor . Açıkçası (önceki bölümün sonundaki antisimetrik referanslara açıkça atıfta bulunularak), veya Y'deki girişlerin pozitif olması bile gerekmez . Bu sadece (vektörlerin olarak kabul iki matrisin korelasyonun bir ölçüde kullanan bir permütasyon testidir , n 2 , bir test istatistik olarak elemanları).$X$$Y$$n^2$

Prensip olarak listeleyebiliriz ! mümkün olan verilerin, bilgi işlem ve permütasyon Z'nin her permütasyon için [test istatistik] ve sıfır dağılımı elde Z gözlenen değer, kendisine karşı Z yargılanabilir.$n!$$Z$$Z$$Z$

[ ibid. ]

Aslında, Mantel açıkça matrislerin mesafe matrisleri olmadığına dikkat çekti ve bu olasılığın önemini vurguladı :

Genel durum formüller durumlar için de uygun olacaktır 'nin ve Y, I j ' nin kümelenme problemi empoze aritmetik ve geometrik intizamı takip etmez; örneğin , X i k ≤ X i j + X j k . Genel prosedürün daha geniş çeşitlilikteki sorunlara yayılmasının temelini oluşturan X i j 've Y i j ' ye keyfi bir şekilde uygulanabilirliği ...$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(Örnek, üçgen eşitsizliğini belirtir.)

$n$$n-1$

$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

Sonuç olarak, en baştan beri, metrik aksiyomların her biri açıkça teste elzem olarak düşünüldü ve reddedildi:

1. "Mesafeler" negatif olabilir.

2. Bir nesne ile kendisi arasındaki "mesafeler" sıfır olmayabilir.

3. Üçgen eşitsizliğinin tutması gerekmez.

4. "Mesafeler" simetrik olmak zorunda değildir.

Mantel’in istatistik teklifinde bulunduğunu söyleyerek bitireceğim. $Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$, simetrik olmayan mesafeler için kötü çalışabilir. Buradaki zorluk, bu iki matrisi etkili bir şekilde ayıran bir test istatistiği bulmaktır: bunu , ürünlerin toplamı yerine permütasyon testinde kullanın.

Bu, testin bir örneğidir R. İki mesafe matrisleri göz önüne alındığında xve ybu (istatistiksel test değerlerinin bir vektör) permütasyon dağılımının bir örnek verir. Bunu gerektirmez xveya yhiçbir özel özelliğe sahip değildir . Yalnızca aynı boyutta kare matris olması gerekir.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}