Stan

Buradan indirilebilen Stan belgelerini inceliyordum . Özellikle Gelman-Rubin teşhisini uygulamalarıyla ilgileniyordum. Orijinal Gelman ve Rubin kağıdı (1992) potansiyel ölçek azaltma faktörünü (PSRF) aşağıdaki gibi tanımlar:

Let $X_{i,1}, \dots , X_{i,N}$ olduğu $i$ örneklenmiş inci Markov zinciri, ve genel olarak söz konusu olsun $M$ örneklenmiş bağımsız zincirleri. Let $\bar{X}_{i\cdot}$ ortalama olarak $i$ inci zincir ve $\bar{X}_{\cdot \cdot}$ genel ortalama olabilir. Tanımla,

W = \frac{1}{M} \sum_{m = 1}^{M} s_{m}^{2},

$W = \dfrac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} {s^2_m},$ burada

Ve tanımlayın

s_{m}^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{t = 1}^{N} ({\bar{X}}_{m t} - {\bar{X}}_{m \cdot})^{2} .

$s^2_m = \dfrac{1}{N-1} \sum_{t=1}^{N} (\bar{X}_{m t} - \bar{X}_{m \cdot})^2\,.$

B

$B$

B = \frac{N}{M - 1} \sum_{m = 1}^{M} ({\bar{X}}_{m \cdot} - {\bar{X}}_{\cdot \cdot})^{2} .

$B = \dfrac{N}{M-1} \sum_{m=1}^{M} (\bar{X}_{m \cdot} - \bar{X}_{\cdot \cdot})^2 \,.$

Tanımla PSRF, ile tahmin edilir.

\hat{V} = (\frac{N - 1}{N}) W + (\frac{M + 1}{M N}) B .

$\hat{V} = \left(\dfrac{N-1}{N} \right)W + \left( \dfrac{M+1}{MN} \right)B\,.$

burada

\sqrt{\hat{R}}

$\sqrt{\hat{R}}$

Burada

\hat{R} = \frac{\hat{V}}{W} \cdot \frac{d f + 3}{d f + 1},

$\hat{R} = \dfrac{\hat{V}}{W} \cdot \dfrac{df+3}{df+1}\,,$

d f = 2 \hat{V} / V a r (\hat{V})

$df = 2\hat{V}/Var(\hat{V})$

Sayfa stan belgeleri 349 zaman göz ardı edilen süreli ve kaldırır çarpımsal terim. Bu onların formülü, $df$ $(M+1)/M$

Varyans tahmincisi Son olarak, potansiyel ölçekli indirgeme istatistiği ile tanımlanır
${\hat{var}}^{+} (θ | y) = \frac{N - 1}{N} W + \frac{1}{N} B .$ $\widehat{\text{var}}^{+}(\theta \, | \, y) = \frac{N-1}{N} W + \frac{1}{N} B\,.$ $\hat{R} = \sqrt{\frac{{\hat{var}}^{+} (θ | y)}{W}} .$ $\hat{R} = \sqrt{\frac{\widehat{\text{var}}^{+}(\theta \, | \, y) }{W}}\,.$

Görebildiğim kadarıyla, bu formül değişikliği için bir referans sağlamıyorlar ve bunu tartışmıyorlar. Genellikle çok büyük değildir ve genellikle kadar düşük olabilir , bu nedenle $M$ $2$ bile göz ardı edilmemelidir terimi 1 ile yaklaşık olarak hesaplanabilir. $(M+1)/M$ $df$

Peki bu formül nereden geliyor?

DÜZENLEME: Gelman, Carlin, Stern ve Rubin (İkinci baskı) Bayes Veri Analizi kitabında tam olarak aynı formüle sahip olduğu için " bu formül nereden geliyor? " Sorusuna kısmi bir cevap buldum . Ancak kitap, bu terimleri görmezden gelmenin neden / neden haklı olduğunu açıklamıyor?

— Greenparker
kaynak

Üzerinde henüz yayınlanmış bir makale yok ve formül muhtemelen önümüzdeki birkaç ay içinde değişecek.

— Ben Goodrich

@BenGoodrich Yorum için teşekkürler. Bu formülü kullanma motivasyonu hakkında daha fazla şey söyleyebilir misiniz? Peki formül neden tam olarak değişecek?

— Greenparker

Mevcut bölünmüş R-hat formülü, sadece tek bir zincirin olduğu durum için geçerli hale getirmenin yoludur. Gelecekteki değişiklikler çoğunlukla altta yatan marjinal posterior dağılımın normal olmayabilir veya ortalama ve / veya varyansa sahip olması ile ilgilidir.

— Ben Goodrich

M = 2

$M = 2$

(M + 1) / M = 3 / 2

$(M+1)/M = 3/2$

\hat{σ} = \frac{n - 1}{n} W + \frac{1}{n} B

$\hat{\sigma} = \frac{n-1}{n}W+ \frac{1}{n}B$

\hat{σ}

$\hat{\sigma}$

{\hat{σ}}_{+}

$\hat{\sigma}_+$

{\hat{v a r}}^{+}

$\widehat{\rm var}^+$

\hat{R} = \frac{m + 1}{m} \frac{{\hat{σ}}_{+}}{W} - \frac{n - 1}{m n},

$\hat{R} = \frac{m+1}{m}\frac{\hat{\sigma}_+}{W} - \frac{n-1}{mn},$

\hat{R} = \frac{{\hat{σ}}_{+}}{W} + \frac{{\hat{σ}}_{+}}{W m} - \frac{n - 1}{m n} .

$\hat{R} = \frac{\hat{\sigma}_+}{W} + \frac{\hat{\sigma}_+}{Wm}- \frac{n-1}{mn}.$

n

$n$

Gelman ve Rubin (1992) de df / df / (df-2) olarak terim kullanmıştır. Brooks & Gelman (1998), bu df düzeltmesinin neden yanlış olduğunu açıklayan bir bölüme sahiptir ve (df + 3) / (df + 1) 'i tanımlamaktadır. Brooks & Gelman (1998) 'de Bölüm 3.1'den önceki paragraf (d + 3) / (d + 1)' in neden düşürülebileceğini açıklamaktadır.

$\frac{\hat{\sigma}_+}{Wm}- \frac{n-1}{mn}$ . BDA3 (Gelman ve diğerleri, 2003) ve Stan bölünmüş zincir versiyonunu tanıttı.

$\hat{R}$ $n$ $m$

Genellikle M çok büyük değildir ve genellikle 2 kadar düşük olabilir

$\hat{R}$

Ek referans:

Brooks ve Gelman (1998). Hesaplamalı ve Grafik İstatistik Dergisi, 7 (4) 434-455.

— Aki Vehtari
kaynak

Evet aynı

{\hat{σ}}^{2}

$\hat{\sigma}^2$ dediğin gibi, ama onların

\hat{R}

$\hat{R}$ istatistik

({\hat{σ}}^{2} + B / m n) / W * d f_{t e r m}

$(\hat{\sigma}^2 + B/mn)/W * df_{term}$ (Stat Science resmi sürümünde sayfa 495'in üstündeki denkleme bakın).

(m + 1) / m

$(m+1)/m$ hakkında konuşuyordum. Ayrıca, 1999'dan beri GR teşhisi konmuş olan R paket kodasındaki koda ve açıklamaya bakın.

— Greenparker

Kafam karıştı. Sağladığınız bağlantı üzerinden makale ve Stat Science web sayfalarındaki makale sadece 457-472 sayfalara sahip.

— Aki Vehtari

Cevabımı düzenlediğimi unutmayın. Gelman ve Brooks (1998) (m + 1) / m terimini daha açık bir şekilde ifade etmektedir ve karar verme için (m + 1) / m döneminin etkisini çoğunlukla iptal eden son terimi kaçırdığınız görülüyor. Bölüm 3.1'den önceki paragrafa bakınız.

— Aki Vehtari

Üzgünüm, bu bir yazım hatasıydı. Sayfa 465 ve Gelman ve Rubin, Brooks ve Gelman (yukarıda belirttiğiniz) ile aynı tanımlamaya sahiptir. Brooks ve Gelman'daki denklem 1.1 de yazdığım şeydir (bazı terimleri yeniden düzenlediğinizde).

— Greenparker

"N büyük olduğunda karar verme için ikinci ve üçüncü dönemin etkisinin ihmal edilebilir olduğunu görebiliriz", yani Söylediğiniz şey BDA ve dolayısıyla STAN'daki ifadenin büyük ölçüde n için bu terimleri görmezden gelmektir?

— Greenparker