İkinci dereceden farkın ardındaki sezgi nedir?

Bazen bir zaman serisinin durağan hale getirilmesi için farklı olması gerekebilir. Ancak ikinci dereceden farkın, birinci dereceden fark yeterli olmadığında durağan hale gelmesine nasıl yardımcı olabileceğini anlamıyorum.

İkinci mertebe farklar ve ihtiyaç duyulan durumlar için sezgisel bir açıklama yapabilir misiniz?

İkinci mertebeden farklılaşma, ikinci türevin ayrık benzetmesidir. Ayrık bir zaman serisi için, ikinci dereceden fark , serinin belirli bir zamandaki eğriliğini temsil eder . İkinci dereceden fark pozitifse, zaman serisi o sırada yukarı doğru kıvrılır ve negatifse zaman serisi o zaman aşağı doğru kıvrılır.

Ayrık zaman serilerinin ikinci dereceden farkı $\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$ zamanda $t$ dır-dir:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Bu olumlu ise $\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$ ve eğer negatifse $\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$ (ve eğer sıfırsa $\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$). Bu sırada dizide önceki zamana göre daha fazla yukarı doğru (daha az aşağı) değişiklik varsa, pozitif eğrilik vardır ve bu sırada dizide önceki zamana göre daha az yukarı (daha aşağı) değişiklik varsa, negatif eğrilik var.

İki düşünce:

Özyineleme . İlk sipariş farkından sonra, neyiniz var? Doğru koşullar altında sabit olana daha yakın olan bir başka zaman dizisi. Yeterince yakın değilse, artık durağan olmayan bir zaman diziniz var ve onu durağan hale getirmek istiyorsunuz, böylece birinci dereceden bir fark alıyorsunuz. (Bu, orijinal zaman serisinin ikinci dereceden bir farkıdır.) Eğer farklı zaman serileri durağanlığa yeterince yakın değilse, ... [recurse] ...

Türevler . Arabanızın GPS konumunu her 10 dakikada bir kaydettiğinizi düşünün. GPS noktalarını iki günden alabilir ve size gösterebilirsem ve hangi gün olabileceğini anlayamazdınız - belki de bir günü başka bir gün bile söyleyemezdiniz - konum verileriniz sabit.

Ama iki hafta boyunca her gün farklı bir şehre gittiniz mi? Günler arasındaki farkı kolayca söyleyebilirdiniz - belki de tam olarak hangi günü gösterdiğimi bile bilebilirsiniz. Sabit değil.

Belki de evinize olan uzaklığınızı her 10 dakikada bir kaydettiyseniz, verilerinizi daha sabit hale getirir. Mesafe yön içermez, belki de şimdi bu iki hafta için verileriniz hemen hemen aynı görünecektir? (Örneğin, ortalama konum evde.)

Bunun yerine, New York'tan Los Angeles'a gitmeyi seçtiğinizi söyleyin. Mesafe hilesi işe yaramazdı, çünkü mesafeniz günler arasında size oldukça açık bir ayrım verecektir.

Ancak daha sonra hızınızı her 10 dakikada bir kaydetmeyi seçebilirsiniz. Eyaletler arası sistemde çapraz ülkeyi sürüyorsanız, günler çok benzer ve hızlı bir şekilde görünme eğilimindesiniz. Yani, hızınız sabit olacaktır.

Diyelim ki 0 konumundaki konum $L_0$ve 10 ve 20 dakika sonra $L_1$ ve $L_2$, sırasıyla. Her 10 dakikalık aralıkta kat edilen mesafe$D_1 = L_1 - L_0$ ve $D_2 = L_2 - L_1$bu, zaman aralığına bölündüğünde hızı verir (hız ile aynı birimler ama yön ile). İkinci diferansiyel,$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$ivme. Hız sabitse ve araç sürekli hareket ediyorsa, konumdaki farklılıklar da sabit olacaktır.