Eğer olan IID, o zaman işlem , burada

Soru

Eğer , IID, o zaman işlem olup , .$X_1,\cdots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right)$$T = \sum_i X_i$

---

Deneme : Lütfen aşağıdakilerin doğru olup olmadığını kontrol edin.

Diyelim ki, şu koşullu beklentilerin toplamını alalım, böylece Her demektir yana IID vardır.

$$\begin{align} \sum_i \mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \mathbb{E}\left( \sum_i X_i \mid T \right) = T . \end{align}$$ $\mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \frac{T}{n}$$X_1,\ldots,X_n$

Böylece, . Doğru mu?$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right) = \frac{T}{n}$

Fikir doğru - ama biraz daha titiz bir şekilde ifade etme sorunu var. Bu nedenle notasyona ve fikrin özünü ortaya çıkarmaya odaklanacağım.

---

Değiştirilebilirlik fikri ile başlayalım :

Bir rastgele değişken olan değiştirilebilir zaman sırası değiştirilebilir değişkenlerin dağılımları X σ = ( X- σ ( 1 ) , X- σ ( 2 ) , ... , x σ ( n ) ) her olası permütasyon için aynıdır σ .$\mathbf X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\mathbf{X}^\sigma=(X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, \ldots, X_{\sigma(n)})$$\sigma$

Açıkçası iid değiştirilebilir anlamına gelir.

Gösterimin bir mesele olarak, geç $X^\sigma_i = X_{\sigma(i)}$ için $i^\text{th}$ bileşeni $\mathbf{X}^\sigma$ ve izin

$$T^\sigma = \sum_{i=1}^n X^\sigma_i = \sum_{i=1}^n X_i = T.$$

Let $j$ be herhangi bir dizin ve izin $\sigma$ gönderir indekslerinin bir permütasyonu gibi $1$ için $j = \sigma(1).$ (Böyle bir $\sigma$ vardır, çünkü kişi her zaman $1$ ve $j.$ değiştirebilir . ) $\mathbf X$ ima eder

$$E[X_1\mid T] = E[X^\sigma_1\mid T^\sigma] = E[X_j\mid T],$$

çünkü (ilk eşitsizlikte) $\mathbf X$ sadece aynı şekilde dağıtılmış $\mathbf X^\sigma.$ vektörü ile değiştirdik . bu meselenin düğüm noktası.

sonuç olarak

$$T = E[T \mid T] = E[\sum_{i=1}^n X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_1\mid T] = n E[X_1 \mid T],$$

nereden

$$E[X_1\mid T] = \frac{1}{n} T.$$

$\newcommand{\one}{\mathbf 1}$ Bu (@ whuber cevabı ve +1) bir kanıt değildir, ancak bunun olması gibi bazı sezgi inşa etme geometrik yolu neden bir olduğunu mantıklı cevap.$E(X_1 | T) = T/n$

Let ve , böylece . Daha sonra bazı için olayı koşullandırıyoruz , bu yüzden bu desteklenen çok değişkenli Gauss'ların çizilmesine benziyor, ancak yalnızca olanlara bakıyoruz boşluk . Sonra bu afin boşluğa noktaların koordinatlarının ortalamasını bilmek istiyoruz (bunun sıfır ölçüm alt kümesi olduğunu unutmayın).$X = (X_1,\dots,X_n)^T$$\one = (1,\dots,1)^T$$T = \one^TX$$\one^TX = t$$t \in \mathbb R$$\mathbb R^n$$\{x \in \mathbb R^n : \one^Tx = t\}$$x_1$

Biliyoruz bir sabit ortalama vektörü ile küresel Gauss var bu yüzden, ortalama vektörü hiperdüzleminin normal vektörü olarak aynı hat üzerindedir .

$$X \sim \mathcal N(\mu \one, I)$$ $\mu\one$$x^T\one = 0$

Bu bize aşağıdaki resim gibi bir durum verir:

Anahtar fikir: önce altuzayındaki yoğunluğu hayal edin . yoğunluğu civarında simetriktir, çünkü . Yoğunluğu da simetrik olacak olarak aynı hat üzerinde simetriktir, ve simetriktir etrafında nokta çizgiler kesiştiği ve . Bu .$H_t := \{x : x^T\one = t\}$$X$$x_1 = x_2$$E(X) \in \text{span } \one$$H_t$$H_t$$x_1 + x_2 = t$$x_1 = x_2$$x = (t/2, t/2)$

Resmi için biz üzerinde örnekleme hayal ve üzeri ve biz bir noktaya olsun her ardından biz sadece almak ve bu tasarruf koordinatı. üzerindeki yoğunluğun simetrisinden , koordinatlarının dağılımı da simetrik olacaktır ve aynı merkez noktası . Simetrik dağılımın ortalaması simetrinin merkezi noktasıdır, bu da anlamına gelir ve ve bu yana etkilenmeden çıkarılabilir herhangi bir şey.$E(X_1 | T)$$H_t$$x_1$$H_t$$x_1$$t/2$$E(X_1 | T) = T/2$$E(X_1| T) = E(X_2 | T)$$X_1$$X_2$

Daha yüksek boyutlarda bu tam olarak görselleştirmek zorlaşır (veya imkansızdır), ancak aynı fikir geçerlidir: aralığındaki bir ortalamaya sahip küresel bir Gaussianımız var ve buna dik olan bir afin alt alana bakıyoruz . Altuzaydaki dağılımın denge noktası, yine de ve ' ın kesişimi olacaktır. ve yoğunluk hala simetriktir, bu nedenle bu denge noktası tekrar ortalamadır.$\one$$\text{span }\one$$\{x : x^T\one = t\}$$x=(t/n, \dots, t/n)$

Yine, bu bir kanıt değil, ama bu davranışı ilk etapta neden beklediğinize dair iyi bir fikir verdiğini düşünüyorum.

---

Bunun ötesinde, @StubbornAtom gibi bazılarının belirttiği gibi, bu aslında Gaussian olmasını gerektirmez . 2-D'de, değiş tokuş edilebilir olması durumunda (daha genel olarak ) olduğuna dikkat edin, bu nedenle , çizgi üzerinde simetrik olmalıdır . Ayrıca bu yüzden ilk resimde "anahtar fikir" ile ilgili söylediğim her şey hala tam olarak duruyor. Bir örnek bir Gauss karışım modelinden iid. Tüm çizgiler eskisiyle aynı anlama sahiptir.$X$$X$$f(x_1, x_2) = f(x_2, x_1)$$f(x) = f(x^\sigma)$$f$$x_1 = x_2$$E(X) \in \text{span }\one$$X_i$

Sanırım cevabınızdaki katil çizgisinden, bunun doğru olduğu konusunda "emin oldukları için" tam olarak emin olmadığım halde, cevabınız doğru. Aynı çözümün daha garip bir yolu şöyledir:

Düşün aslında vasıtası. N okumaya sahip bir örneğiniz olduğunu ve bunların ortalamalarının T olduğunu biliyorsunuz. Bu aslında ne anlama geliyor, şimdi örneklenmiş oldukları temel dağılımın artık önemli olmadığı anlamına geliyor. kanıtınız için bir Gaussian'dan örneklenmiştir).$\mathbb{E}(x_{i}|T)$

$\mathbb{E}(x_{i}|T)$ , örneğinizden örnek alırsanız, birçok kez değiştirerek, elde ettiğiniz ortalama ne olurdu sorusunun cevabıdır. Bu, olasılıklarıyla çarpılan tüm olası değerlerin toplamı veya T'ye eşit olan dir.$\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{N}x_{i}$