Aynı modeldeki iki parametre tahmininin önemli ölçüde farklı olup olmadığını nasıl test edebilirim?

Modele sahibim

$$y=x^a \times z^b + e$$

burada bağımlı değişkendir, ve açıklayıcı değişkenlerdir, ve parametrelerdir ve bir hata terimidir. ve parametre tahminlerine ve bu tahminlerin bir kovaryans matrisine sahibim . ve anlamlı derecede farklı olup olmadığını nasıl test edebilirim ?$y$$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

ve farklı olduğu hipotezinin değerlendirilmesi, boş hipotezinin test edilmesine eşdeğerdir$a$$b$$a - b = 0$ ( alternatifine karşı ).$a-b\ne 0$

Aşağıdaki analiz, ab'yi olarak tahmin makul olduğunu varsaymaktadır Ayrıca, model formülasyonunuzu da kabul eder (ki bu genellikle mantıklıdır), çünkü - hatalar toplanır (ve negatif gözlenen değerlerini bile üretebilir ) - her iki tarafın logaritmasını alarak doğrusallaştırmamıza izin vermez .$a-b$

$$U = \hat a - \hat b.$$ $y$

Varyansı kovaryans matrisinin cinsinden ifade edilebilir arasında olarak$U$$(c_{ij})$$(\hat a, \hat b)$

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

Tüm olan en küçük kareler ile tahmin biri genellikle bir "t testi;" kullanır yani, ın dağılımı serbestlik derecesine sahip bir Öğrenci t dağılımı ile yaklaşık olarak tahmin edilmektedir (burada veri sayısıdır ve katsayı sayısını sayar ). Ne olursa olsun, genellikle herhangi bir testin temelini oluşturur. Örneğin bir Z testi ( büyük olduğunda veya Maksimum Olabilirlik ile takıldığında) veya önyükleme yapabilirsiniz.$(\hat a, \hat b)$

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ $n-2$$n$$2$$t$$n$

Spesifik olarak, t testinin p değeri

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

burada , Öğrenci t (birikimli) dağıtım işlevidir. "Kuyruk alanı" için bir ifadedir: Student t değişkeninin ( serbestlik dereceli) test istatistiği,$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

---

Daha genel olarak, ve sayıları için herhangi bir hipotezi test etmek için tamamen aynı yaklaşımı kullanabilirsiniz$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

iki taraflı alternatife karşı. (Bu, özel ancak yaygın bir "kontrast" durumunu kapsar .) varyansını tahmin etmek ve istatistiği oluşturmak için tahmini varyans-kovaryans matrisini kullanın$(c_{ij})$$U = c_1 a + c_2 b$

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

Yukarıdaki durum ve$(c_1,c_2) = (1,-1)$$\mu=0.$

---

Bu tavsiyenin doğru olup olmadığını kontrol etmekR için, bu modele (Normal olarak dağıtılmış hatalarla e) veri oluşturmak , bunları takmak ve birçok kez değerini hesaplamak için aşağıdaki kodu çalıştırdım . Kontrol, olasılık grafiğinin (varsayılan öğrenci t dağılımına dayalı olarak) diyagonali yakından izlediğidir. Burada, ( dağılımı Normalden çok uzak olduğu için seçilen çok küçük bir veri kümesi ) ve olduğu büyüklüğündeki bir simülasyondaki çizim$t$$t$$500$$n=5$$t$$a=b=-1/2.$

Bu örnekte, en azından, prosedür güzel çalışıyor. Durumunuzu yansıtan (hata standart sapması) ve parametrelerini kullanarak simülasyonu yeniden çalıştırmayı düşünün .$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

İşte kod.

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)