Heterosedadastisite ile durağan olmama arasındaki kavramsal ayrım

Süreklilik ve durağanlık kavramlarını ayırt etmekte zorlanıyorum. Onları anladığım gibi, heteroscedastisite alt popülasyonlardaki değişkenliklerdir ve durağanlık zaman içinde değişen bir ortalama / varyanstır.

Eğer bu doğru (basit de olsa) bir anlayışsa, durağanlık, zaman içinde belirli bir hetero-esneklik vakası mıdır?

Kesin tanımlar vermek için $X_1, \ldots, X_n$ gerçek değerli rasgele değişkenler olmak.

Durağanlık genellikle sadece değişkenlerin indeksini zaman olarak düşünürsek tanımlanır . Bu durumda rasgele değişkenlerin sırası$X_1, \ldots, X_{n-1}$ ile aynı dağılıma sahiptir $X_2, \ldots, X_n$. Bu, özellikle,$X_i$ için $i = 1, \ldots, n$ hepsi aynı marjinal dağılıma ve dolayısıyla aynı marjinal ortalamaya ve varyansa (sonlu ikinci momentleri olduğu göz önüne alındığında) sahiptir.

Heterosedastisitenin anlamı bağlama bağlı olabilir. Eğer marjinal varyanslar$X_i$ile değişimi $i$(ortalama sabit olsa bile) rastgele değişkenlere homoscedastik olmaması anlamında heteroscedastik denir .

Regresyon analizinde genellikle cevabın regresörler üzerindeki koşullu varyansını düşünüyoruz ve heterossedastisiteyi sabit olmayan bir koşullu varyans olarak tanımlıyoruz.

Terminolojinin koşullu hetero- esnekliğin yaygın olduğu zaman serisi analizinde, ilgi genellikle$X_k$ şartlı olarak $X_{k-1}, \ldots, X_1$. Eğer bu koşullu varyans sabit değilse, koşullu hetero-esnekliğe sahibiz. ARCH (otoregresif koşullu değişkenlik) modeli, sabit olmayan koşullu varyansa sahip sabit bir zaman serisi modelinin en ünlü örneğidir.

Heterossedastisite (özellikle şartlı heterosensedastisite) genel olarak durağanlık anlamına gelmez.

Durağanlık birkaç nedenden dolayı önemlidir. Basit bir istatistiksel sonuç, ortalamanın

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i)$$ o zaman beklentinin tarafsız bir tahmincisidir $E f(X_1)$(ve durağanlıktan biraz daha fazla olan ve genellikle örtük olarak kabul edilen ergodisite varsayarsak , ortalama, beklentinin tutarlı bir tahmincisidir.$n \to \infty$).

Heterosedastisitenin (veya homoscedastisitenin) önemi, istatistiksel açıdan, örneğin belirsizlik aralığının hesaplanması gibi istatistiksel belirsizliğin değerlendirilmesi ile ilgilidir. Veriler aslında heteroscedastisite gösterirken, hesaplamalar bir homoscedasticity varsayımı altında gerçekleştirilirse, ortaya çıkan güven aralıkları yanıltıcı olabilir.

Tüm istatistiksel özellikleri zaman kaynağına bağlı değilse bir zaman serisi sabittir. Bu koşul yerine getirilmezse, zaman serisi sabit değildir.

Sabit bir zaman serisi bile sadece bir örnek kayıt temelinde tanımlanamaz. İstatistiksel özellikleri, farklı zaman kökenlerindeki örnek kayıtlar topluluğu üzerinden ortalama alınarak analiz edilmelidir.

Herhangi bir örnek kayıt için ve grup ortalaması ile belirlendikleri durumda istatistiksel özellikler aynıysa, zaman serisi ergodiktir.

Bir heterossedaktik zaman serisinin istatistiksel özellikleri zamana bağlı olduğundan durağan değildir ve elbette ergodik değildir. Tek bir numune kaydı için belirlenen özellikleri geçmiş ve gelecekteki davranışlarına genişletilemez.

Bu arada, korelasyon / regresyon analizi aralarındaki bağımlılık (tutarlılık fonksiyonu) frekansa bağlı olduğundan ve (çok değişkenli) stokastik fark denklemleri denklemleri (zaman alanı) veya frekans tepki fonksiyonları ile karakterize edilebildiğinden zaman serisine uygulanamaz. (frekans alanı).

Rastgele değişkenler için geliştirilen regresyon analizinin zaman serisine genişletilmesi yanlıştır (örneğin bakınız Bendat ve Piersol, 2010; Box ve ark., 2015).

3 derece sabittir. Zayıf form ortalama gerektirir ve varyans sabit tutulur. Bunun anlamı, 3 sabit tanımın heteroscedastisiteden daha güçlü gereksinimler olduğu anlamına gelir, çünkü heteroscedastisite ortalamaya başvurmadan sabit varyans anlamına gelir.

Bir işlemin heteroscedastisitesi olabilir. Ancak eğer ortalaması sabit değilse, süreç (zayıf) sabit değildir.

Sabit bir süreç ('S' ile gösterelim) homoscedasticity'yi ifade edelim ('H' ile gösterelim). Yani S -> H.

Doğal olarak kontrasepsiyonu da doğrudur . Yani H '-> S', yani homossedastisite durağan değildir.

Ancak tersine çevirme ve olumsuzlama doğru değildir . Başka bir deyişle:

"Durağan olmayan, homossedastisite olmadığı anlamına gelir" doğru değildir.

"Homoscedasticity olmayan sabit bir süreç var" doğru değil.