Normal toplamının Normal küp toplamına oranı

12

Lütfen aşağıdakilerin sınırlama dağılımını ( ) : buradaki , . $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + ... + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + ... X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
kaynak

1

Rastgele değişkenlerin dönüşümlerine bakmayı denediniz mi? Örneğin, karakteristik fonksiyonlar, Laplace-Stieltjes dönüşümleri, vb. Denenebilir.

— Stijn

1

İpucu: Pay ve payda asimptotik olarak iki değişkenli normaldir. Anlarını doğrudan hesaplayabilirsiniz: araçları açıkça sıfırdır, payın varyansı

, payda varyansı

ve kovaryans

. (Böylece korelasyon

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

). Normal bir sıfır ortalama çift değişkenli ifade sınırlayıcı dağılımı bulmak için

şeklinde

bağımsız sıfır ortalama normalleri için

ve

ve sürekli

, o zaman dikkat oranı

ölçeklendirilmiş kaydırılmış Cauchy dağılımıdır.

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

Formülasyon buradavebağımsızdır, bu sadece klasik bir ders kitabı alıştırmasıdır. Sen gerçeği kullandıkları

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + ... + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + ... Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

ve

asimtotlarını ölçekli Cauchy dağılımınaçıkarabiliriz.

F_{n} \overset{d}{\to} F, {G,}_{n} \overset{d}{\to} G, \Rightarrow \frac{F_{n}}{{G,}_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G,}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Ancak formülasyonunuzda, bağımlılığı nedeniyle teoremi uygulayamayız. Monte-Carlo'm sınır dağılımının dejenere olmadığını ve ilk anı olmadığını ve simetrik olmadığını ileri sürüyor . Bu soruna açık bir çözüm olup olmadığıyla ilgilenirim. Çözümün sadece Wiener süreci açısından yazılabileceğini hissediyorum. $U_n$

[EDIT] Whuber'in ipucunu takiben,

belirterek buve. (standart normal anlar,

(\frac{1}{\sqrt{n}} Σ X_{ben}, \frac{1}{\sqrt{n}} Σ X_{ben}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$

(Z_{1}, Z_{2}) ~ N- (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

çift

) Sonra sürekli haritalama teoremi ile,

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

yazabileceğimize dikkat edin

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

burada

ve

bağımsız olarak,

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

burada

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Julius
kaynak

0

$X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Rastgele değişkenlerin oranlarının veya terslerinin beklentiler olmadan sıklıkla sorunlu olduğunu duydum. Neden? ). Ama burada, pay ve payda arasında konuyu zorlaştıran bir bağımlılık var ... (Açıkça burada daha fazla düşünmeye ihtiyaç var).

$x_i^3$

— kjetil b halvorsen
kaynak