Bir ARMA (2,1) sürecinin otokovaryansı -


13

Ben tarafından belirtilen bir ARMA (2,1) sürecinin otokovaryans işlevi için analitik ifadeler türetmek gerekir γ(k):

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt

Yani, biliyorum:

γ(k)=E[yt,ytk]

böylece yazabilirim:

γ(k)=ϕ1E[yt1ytk]+ϕ2E[yt2ytk]+θ1E[ϵt1ytk]+E[ϵtytk]

Daha sonra, otokovaryans fonksiyonunun analitik versiyonunu türetmek için, ben yerine değerlerine ihtiyaç k ı tümü için geçerli olan bir özyinelemeye elde edene kadar ... 0, 1, 2 - k bazı tamsayı Büyüktür.

Bu nedenle, ben yerine k=0ve bunu elde etmek için çalışır:

γ(0)=E[yt,yt]=ϕ1E[yt1yt]+ϕ2E[yt2yt]+θ1E[ϵt1yt]+E[ϵtyt]

şimdi bu terimlerin ilk ikisini basitleştirebilir ve daha sonra daha önce olduğu gibi değiştirebilirim :yt

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1E[ϵt1(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]+E[ϵt(ϕ1yt1+ϕ2yt2+θ1ϵt1+ϵt)]

sonra sekiz terimi çarparım:

+θ1ϕ1E[ϵt1yt1]+θ1ϕ2E[ϵt1yt2]+θ12E[(ϵt1)2]=θ12σϵ2+θ1E[ϵt1ϵt]=θ1E[ϵt1]E[ϵt]=0+ϕ1E[ϵtyt1]+ϕ2E[ϵtyt2]+θ1E[ϵtϵt1]=θ1E[ϵt]E[ϵt1]=0+E[(ϵt)2]=σϵ2

Yani, kalan dört terimi çözmem gerekiyor. Satır 1, 2, 5 ve 6 için aynı mantığı 4 ve 7 satırlarında kullandığım gibi kullanmak istiyorum - örneğin satır 1 için:

çünkü E [ ϵ t - 1 ] = 0 .θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0E[ϵt1]=0

Benzer şekilde 2, 5 ve 6. satırlar için. Ama için ifadeyi basitleştiren bir model çözümüm var :γ(0)

γ(0)=ϕ1γ(1)+ϕ2γ(2)+θ1(ϕ1+θ1)σϵ2+σϵ2

Bu, yukarıda açıklandığı gibi sadeleştirmenin, mantığımın altında 0 olması gereken katsayısı ile terimi kaçıracağını göstermektedir. Mantığım hatalı mı yoksa bulduğum model çözümü yanlış mı?ϕ1

Çalışılan çözüm ayrıca "benzer şekilde" aşağıdaki gibi bulunabileceğini göstermektedir:γ(1)

γ(1)=ϕ1γ(0)+ϕ2γ(1)+θ1σϵ2

ve :k>1

γ(k)=ϕ1γ(k1)+ϕ2(k2)

Umarım soru açıktır. Herhangi bir yardım çok takdir edilecektir. Şimdiden teşekkür ederim.

Bu araştırmamla ilgili bir soru ve herhangi bir sınava veya derse hazır değil.

Yanıtlar:


8

ARMA süreci nedensel ise, otokovaryans katsayılarını sağlayan genel bir formül vardır.

ARMA(p,q)

yt=i=1pϕiyt1+j=1qθjϵtj+ϵt,
ϵtσϵ2 buradaψj,ψağırlıklarınıbelirtir.
yt=j=0ψjϵtj,
ψjψ

ARMA(p,q)

γ(k)ϕ1γ(k1)ϕpγ(kp)=0,kmax(p,q+1),
with initial conditions
γ(k)j=1pϕjγ(kj)=σϵ2j=kqθjψjk,0k<max(p,q+1).

2

Your calculation mistake in your original question lies in

θ1ϕ1E[ϵt1yt1]=θ1ϕ1E[ϵt1]E[yt1]=0(mistaken)

You cannot separate the expectation E[ϵt1yt1] - ϵt1 and yt1 are not independent.


As you can see from my update (below) I realised this soon after completing the post - but many thanks for your help!
hydrologist

1

OK. So the process of writing the post actually pointed me to the solution.

Consider the Expectation terms 1, 2, 5 and 6 from above that I thought should be 0.

Immediately for terms 5 - E[ϵtyt1] - and 6 - E[ϵtyt2]: these terms are definitely zero, because yt1 and yt2 are independent of ϵt and E[ϵt]=0.

However, terms 1 and 2 look as though the Expectation is of two correlated variables. So, consider the expressions for yt1 and yt2 thus:

yt1=ϕ1yt2+ϕ2yt3+θ1ϵt2+ϵt1yt2=ϕ1yt3+ϕ2yt4+θ1ϵt3+ϵt2

And recall term 1 - ϕ1θ1E[ϵt1yt1]. If we multiply both sides of the expression for yt1 by ϵt1 and then take Expectations, it is clear that all terms on the right hand side except the last become zero (because the values of yt2, yt3, and ϵt2 are independent of ϵt1 and E[ϵt1]=0) to give:

E[ϵt1yt1]=E[(ϵt1)2]=σϵ2

So term 1 becomes +ϕ1θ1σϵ2. For term 2, it should be clear that, by the same logic, all terms are zero.

Hence the original model answer was correct.

However, if anyone can suggest an alternative way to obtain a general (even if messy) solution, I would be very pleased to hear it!

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.