Bir ARMA (2,1) sürecinin otokovaryansı -

Ben tarafından belirtilen bir ARMA (2,1) sürecinin otokovaryans işlevi için analitik ifadeler türetmek gerekir $\gamma\left(k\right)$:

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

Yani, biliyorum:

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

böylece yazabilirim:

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

Daha sonra, otokovaryans fonksiyonunun analitik versiyonunu türetmek için, ben yerine değerlerine ihtiyaç $k$ ı tümü için geçerli olan bir özyinelemeye elde edene kadar ... 0, 1, 2 - $k$ bazı tamsayı Büyüktür.

Bu nedenle, ben yerine $k=0$ve bunu elde etmek için çalışır:

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

şimdi bu terimlerin ilk ikisini basitleştirebilir ve daha sonra daha önce olduğu gibi değiştirebilirim :$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

sonra sekiz terimi çarparım:

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

Yani, kalan dört terimi çözmem gerekiyor. Satır 1, 2, 5 ve 6 için aynı mantığı 4 ve 7 satırlarında kullandığım gibi kullanmak istiyorum - örneğin satır 1 için:

çünkü E [ ϵ t - 1 ] = 0 .$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

Benzer şekilde 2, 5 ve 6. satırlar için. Ama için ifadeyi basitleştiren bir model çözümüm var :$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

Bu, yukarıda açıklandığı gibi sadeleştirmenin, mantığımın altında 0 olması gereken katsayısı ile terimi kaçıracağını göstermektedir. Mantığım hatalı mı yoksa bulduğum model çözümü yanlış mı?$\phi_1$

Çalışılan çözüm ayrıca "benzer şekilde" aşağıdaki gibi bulunabileceğini göstermektedir:$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

ve :$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

Umarım soru açıktır. Herhangi bir yardım çok takdir edilecektir. Şimdiden teşekkür ederim.

Bu araştırmamla ilgili bir soru ve herhangi bir sınava veya derse hazır değil.

ARMA süreci nedensel ise, otokovaryans katsayılarını sağlayan genel bir formül vardır.

$\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ buradaψj,ψağırlıklarınıbelirtir. $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

$\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ with initial conditions $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

Your calculation mistake in your original question lies in

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

You cannot separate the expectation $\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$ - $\epsilon_{t-1}$ and $y_{t-1}$ are not independent.

OK. So the process of writing the post actually pointed me to the solution.

Consider the Expectation terms 1, 2, 5 and 6 from above that I thought should be 0.

Immediately for terms 5 - $\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$ - and 6 - $\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$: these terms are definitely zero, because $y_{t-1}$ and $y_{t-2}$ are independent of $\epsilon_t$ and $\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$.

However, terms 1 and 2 look as though the Expectation is of two correlated variables. So, consider the expressions for $y_{t-1}$ and $y_{t-2}$ thus:

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

And recall term 1 - $\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$. If we multiply both sides of the expression for $y_{t-1}$ by $\epsilon_{t-1}$ and then take Expectations, it is clear that all terms on the right hand side except the last become zero (because the values of $y_{t-2}$, $y_{t-3}$, and $\epsilon_{t-2}$ are independent of $\epsilon_{t-1}$ and $\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$) to give:

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

So term 1 becomes $+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$. For term 2, it should be clear that, by the same logic, all terms are zero.

Hence the original model answer was correct.

However, if anyone can suggest an alternative way to obtain a general (even if messy) solution, I would be very pleased to hear it!