Korelasyon matrisinin neden pozitif yarı kesin olması gerekir ve pozitif yarı kesin olmanın anlamı nedir?

Korelasyon veya kovaryans matrislerinin pozitif yarı kesin özelliklerinin anlamını araştırıyordum.

Hakkında herhangi bir bilgi arıyorum

Pozitif yarı kesinliğin tanımı;
Önemli özellikleri, pratik uygulamalar;
Olumsuz belirleyici olmanın sonucu, çok değişkenli analiz veya simülasyon sonuçları vb.

— Kavun
kaynak

Eğer yarı kesinlik anlamak istiyorsunuz olduğunu , yoksa korelasyon matrisleri neden bilmek istiyorsun gereken yarı kesin olur, yoksa önemli sonuçları bu özellik ima ne olduğunu bilmek istiyor musun?

— whuber

Eğer korelasyon yarı pozitif kesin olmayan matrislerse, negatif olan varyansları alabilirsiniz.

Sorunuzu biraz düzenledim, lütfen kontrol edin. Ayrıca, eşit sayıda negatif özdeğer içeren bir matrisin hala pozitif belirleyiciye sahip olacağını lütfen unutmayın.

— ttnphns

Bir kovaryans matrisi her zaman korelasyon matrisine eşit değildir! Kovaryans normalize edilmiş değişkenleri dikkate alırken korelasyon matrisi değildir.

— Manoj Kumar

İlgili sorular: Her kovaryans matrisi pozitif kesin midir? korelasyon matrislerinin özel bir durum olduğu daha geniş kovaryans matrisi vakasını dikkate alır; Ayrıca her korelasyon matrisi pozitif yarı kesin midir? ve Her korelasyon matrisi pozitif kesin midir?

— Silverfish

Yanıtlar:

Ağırlıklı toplamının varyansı rastgele değişkenlerin gerçek sayılar her seçenek için negatif bir değer olmamalı . Varyans olarak ifade edilebildiğinden $\sum_i a_i X_i$ $a_i$

var (\underset{ben}{Σ} {bir}_{ben} X_{ben}) = \underset{ben}{Σ} \underset{j}{Σ} {bir}_{ben} {bir}_{j} cov (X_{ben}, X_{j}) = \underset{ben}{Σ} \underset{j}{Σ} {bir}_{ben} {bir}_{j} Σ_{ben, j},

$\operatorname{var}\left(\sum_i a_i X_i\right) = \sum_i \sum_j a_ia_j \operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum_i \sum_j a_ia_j \Sigma_{i,j},$ kovaryans matrisinin

pozitif (yarı zaman zaman negatif olmayan olarak da adlandırılan) olması gerekir. Bir matris olduğu geri çağırma

pozitif yarı kesin ancak ve ancak adlandırılır

Σ = [Σ_{i, j}]

$\Sigma = [\Sigma_{i,j}]$

C

$C$

\underset{ben}{Σ} \underset{j}{Σ} {bir}_{ben} {bir}_{j} C_{ben, j} \geq 0 \forall {bir}_{ben}, {bir}_{j} \in R, .

$\sum_i \sum_j a_ia_j C_{i,j} \geq 0 \;\; \forall a_i, a_j \in \mathbb R.$

— Dilip Sarwate
kaynak

Teşekkürler, olumsuz oyumu kaldırdım, ancak uygulamadaki sonuçlara cevap veremediği için fazla oylamadım. Diyelim ki olumlu kesin olmayan bir matrisim var ('uzman' tarafından yapılan değişikliklerin örneği olması nedeniyle). Verileri kalibre etmek ve / veya simüle etmek için kullanırsam ne olur? Özellikle, bu büyük bir toplamı incelemeye çalışırken gerçek bir problem mi ve sadece birkaç negatif öz değer var mı? Olumlu olmayan yarı kesin bir korelasyon matrisini pozitif yarı kesin olana dönüştürmek için etkin bir algoritma ne olurdu? Bu algoritmanın etkisi ne olurdu?

— lcrmorin

@Were_cat Oyunun tersini çevirdiğiniz için teşekkür ederiz.

— Dilip Sarwate

İlk eşitliği ilk denklemde açıklayabilir misiniz?

— Vivek Subramanian

var (X) = cov (X, X)

$\operatorname{var}(X)=\operatorname{cov}(X,X)$

\begin{aligned} cov (\underset{ben}{Σ} {bir}_{ben} X_{ben}, Y) & = \underset{ben}{Σ} {bir}_{ben} cov (X_{ben}, Y) \\ cov (X, \underset{ben}{Σ} b_{j} Y_{j},) & = \underset{j}{Σ} b_{j} cov (X, Y_{j}) \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}\left(\sum_i a_iX_i,Y\right)&=\sum_i a_i\operatorname{cov}(X_i,Y)\\ \operatorname{cov}\left(X, \sum_i b_jY_j,\right) &=\sum_j b_j \operatorname{cov}(X,Y_j)\end{align}$

Cevap oldukça basit.

Korelasyon matrisi şöyle tanımlanır:

$X = [x_1, x_2, ..., x_n]$ $m\times n$ $m$ $n$

tanımlayın $X_b= [\frac{(x_1-\mu_1 e)}{s_1}, \frac{(x_2-\mu_2 e)}{s_2}, \frac{(x_3-\mu_3 e)}{s_3}, ...]$ $\mu_1$ $\mu_2$ $s_1$ $e$

Korelasyon matrisi o zaman

C = X_{b}^{'} X_{b}

$C=X_b' X_b$

$A$ $z$ $z' A z <0$

$C$ $w' C w<0$

Ancak $(w' C w)=(w' X_b' X_b w)=(X_b w)'(X_b w) = {z_1^2+z_2^2...}$ $z=X_b w$ $w' C w$

$U$ $V' V$

— gregor
kaynak

Bu, bugüne kadarki en net ve özlü cevaptır. Teşekkürler !

— Yohan Obadia

(Akıl yürütmedeki olası gevşeklik benim olur. Matematikçi değilim: Bu bir tasvir, kanıt değil, sayısal deneyimlerimden, kitaplardan değil.)

Bir pozitif yarı kesin da Gramian matris adı verilen (PSD) matris, herhangi bir olumsuz öz değerleri ile bir matrisidir. Negatif özdeğerlere sahip olan matris, yarı yarı-yarı pozitif veya Gram dışı değildir. Bunların her ikisi de kesin (sıfır özdeğer yok) veya tekil (en az bir sıfır özdeğer ile) olabilir. ["Gramyan" kelimesi matematikte farklı anlamlarda kullanılır, bu yüzden belki de kaçınılması gerekir.
İstatistiklerde, genellikle bu terimleri skaler ürün matrisi olarak da adlandırılan bir SSCP tipi matrise uygularız. Korelasyon veya kovaryans matrisleri , bu matrisin özel durumlarıdır .
$n$ $p$ $p$ $p$ $n$ $n$ olgular arasında kovaryans matrisi. Onu gerçek verilerden hesapladığınızda, matris her zaman Gramian olacaktır. Eğer (1) doğrudan ölçülen benzerlik matrisi ise (yani veriden hesaplanmaz) veya benzerlik ölçüsü SSCP tipi değilse Gramian olmayan (psd olmayan) matris alabilirsiniz. (2) matris değerleri yanlış girilmiş; (3) matris aslında Gramilidir ancak bazen özdeğerlerin hesaplanmasının spektral yönteminin gerçek sıfır veya minik pozitif olanların yerine minik negatif olanları ürettiği (veya olmaya çok yakın) tekildir.
Bulut için alternatif ve eşdeğer bir özet öklid mesafelerinin matrisidir. Bir çift öğe ile aralarındaki karşılık gelen kare öklid mesafesi arasındaki skaler bir ürün (kovaryans gibi) kosinüs kanunları ile bağlanır ( kosin teoremi , oradaki resme bakın): $d_{12}^2 = h_1^2+h_2^2-2s_{12}$ $s$ $h$ $X$ $Y$ $d_{xy}^2 = \sigma_x^2+\sigma_y^2-2cov_{xy}$
$m$ $m$
$m$ $m$ $m$
Gramer olmayan (Öklid olmayan) konfigürasyonun olası sebepleri veya versiyonları nelerdir? Cevaplar düşünmeden sonra [4. nokta] takip eder.
- $m$ $m$ $d$
- $h$ $d$ $d$ $h$ $h$
- $d$ $h$ $h_1+h_2 \ge d_{12} \ge |h_1-h_2|$
$|cov_{ij}| \gt \sigma_i \sigma_j$

Şek1.

Şek1

İncir. 2.

İncir. 2

Şek. 3.

Şek. 3

— ttnphns
kaynak

Nokta 6'nın gösterilmesi gerekiyor: bir kare Öklid mesafesinin bir matrisinin pd olduğunu gösterdiniz, ancak her pd matrisinin bir Öklid noktalarının konfigürasyonuna karşılık geldiğine dair kanıt olmadan iddia ediyorsunuz. Ayrıca, pd tanımınızı ("negatif özdeğer yok") sonraki karakterizasyonlarınızdan hiçbirine bağlamadınız. Anahtar fikir en sonunda gelir (nokta 8): bir mesafeyi tanımlamak için bir pd matrisi kullanılabilir. Mantıksal olarak, başlamanız gereken yer burasıdır analize .

— whuber

@whuber: Kritik değerlendirme için teşekkürler. Korkarım, matematiksel olarak bir şeyi kanıtlamak söz konusu olduğunda batarım. Bir parçamı rapor ettimPratik deneyimimin bir (dedim); Cevap gerçekten analitik bir dizi değildi. Madeni düzelten / iyileştiren kendi cevabınızı eklemek ister misiniz? Değerli bir yardım olabilir. Veya, düpedüz boşuna bulursanız, geliştirmek için metnim üzerinde çalışmakta özgürsünüz.

— ttnphns

PS Benim 8 puanım, çift merkezlemenin merkezini işaret eden noktaların bir konfigürasyonunu tutturmasından bu yana, bu işlemin okalesizliği ortaya koymadığı anlamına gelir (yeni nokta, merkez aynı alana ait olduğu için sadece tekillik üretir). Böylece ilk konfigürasyonun öklid olup olmadığını kontrol edebiliriz. Bu doğru değil mi?

— ttnphns