Binom dağılım fonksiyonu sınırlandırıcı Poisson dağılım fonksiyonunun üstünde / altında ne zamandır?

Let parametrelerle binom dağılım fonksiyonu (DF) ifade ve değerlendirildi : ve , Poisson değerlendirilen parametresiyle göstersin : $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

Düşünün $p \rightarrow 0$ ve izin $n$ olarak tanımlanabilir $\lceil a/p-d \rceil$ , burada $d$ seviyesinde bir sabittir $1$ . Yana $np \rightarrow a$ , fonksiyon $B(n,p,r)$ için yakınsak $F(a,r)$ için tüm $r$ , hem iyi bilinmektedir.

için yukarıda verilen tanımla $n$ , $a$ nın değerinin belirlenmesi ile ilgileniyorum.

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$ ve benzer şekilde

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$ ı ilk eşitsizlik tutar kanıtlamak mümkün olmuştur

a

$a$ yeterince daha küçüktür

r

$r$ ; daha spesifik olarak, için

a

$a$ belirli sınır daha düşük

g (r)

$g(r)$ ile,

g (r) < r

$g(r)<r$ . Benzer şekilde, ikinci eşitsizlik için de geçerlidir

a

$a$ yeterince daha büyük

r

$r$ için, yani

a

$a$

ile belirli bir sınırlama

den daha büyük . (Sınırları ifadeleri

burada alakasız. Ben ilgilenen herkese ayrıntıları sağlayacaktır.) Ancak, sayısal sonuçlar bu eşitsizlikler için olduğunu, daha az sıkı sınırlarının için tutun düşündürmektedir

daha yaklaştı

ı ispat daha.

h (r)

$h(r)$

h (r) > r

$h(r)>r$

g (r)

$g(r)$

h (r)

$h(r)$

a

$a$

r

$r$

Bu yüzden, her eşitsizliğin hangi koşullar altında tutulacağını belirleyen bir teorem veya sonuç olup olmadığını bilmek isterim (herkes için $p$ ); yani, binom DF'nin sınırlayıcı Poisson DF'nin altında / üstünde olması garanti edildiğinde. Böyle bir teorem mevcut değilse, doğru yönde herhangi bir fikir veya işaretçi takdir edilecektir.

Lütfen tamamlanmamış beta ve gama fonksiyonları açısından ifade edilen benzer bir sorunun math.stackexchange.com'da yayınlandığını ancak cevap alamadığını unutmayın.

— Luis Mendo
kaynak

Bu ilginç bir soru, bununla birlikte, özellikle “hareketli parçalar” olan ve olmayan birkaç şeyi açıklığa kavuşturmaya yardımcı olacağını düşünüyorum. Tutan bir sınır istiyorum görünüyor düzgün içinde her biri için sabit . Fakat nin rolü nedir? Çok fazla önemi olmamalı, ancak giriş gerekli mi? Bir yaklaşım, şeylere Poisson sürecinin bekleme süreleri açısından bakmak ve bunları binom rastgele değişkeni için ilişkili geometrik bekleme sürelerine (her birinin tavanını alarak) bağlamak olabilir. Ancak bu aradığınız üniformayı getirmeyebilir.

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— kardinal

@cardinal Zaman ayırdığınız için teşekkürler. Evet, sınırın p cinsinden tek tip olmasını istiyorum. Diğer tüm parametreler sabittir (ancak seçilebilir). böyle bir serbest parametredir. Örneğin aşağıdaki gibi, bir hipotetik sonucu olabilir: ", herhangi bir doğal için daha büyük ve bir birinci eşitsizlik tüm için de geçerlidir ve tüm ve ikinci tüm tutan ve tüm .

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Luis Mendo

Gerekli olmayan bağımsız bernoulli değişkenlerinin toplamını tahmin etmek için poisson rv kullandığınızda hataları tahmin eden bir stein chen teorisi vardır. Sorunuz hakkında emin değilim.

— Lost 1

Sonlu , Binom dağılımının yukarıdan desteği kapalıdır. Boyutu seçilebilir ( seçilerek ), ancak kapalıdır. Öte yandan, Poisson dağıtımının sınırsız desteği var. Herhangi sonlu için, CDF en bakıyoruz yana her zaman olacaktır herhangi müsaade değerleri için . OP sonradır 2 eşitsizlik koşulları Yani, her zaman "için, en azından içerecektir ..."

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

r < n

$r<n$

— Alecos Papadopulos

Did'in

— Alex R.

Aşağıdakilerle ilgili olarak:

Binom dağılımının ortalaması $np$
varyans $np(1-p)$
Poisson dist'in ortalaması olarak tahmin edebileceğimiz dır. $\lambda$ $n\times p$
Poisson varyansı ortalama ile aynıdır

Şimdi, eğer bir Poisson, ve parametrelerine sahip bir Binom sınırını oluşturuyorsa , , sonsuzluğa yükselmesi ve ürün sabit kalırken sıfıra düşmesi, sonra ve kendi sınırlarına dönüştürülmediği varsayımıyla ifade, her zaman daha büyüktür , bu nedenle Binomial'ın varyansı Poisson'dekinden daha azdır. Bu Binomial'in kuyrukların altında ve başka bir yerde olduğu anlamına gelir. $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
kaynak

Katkınız için teşekkürler. Bana öyle geliyor ki, soruya cevap vermiyor, çünkü (1) OP, PDF ile değil CDF ile ilgileniyor. (2) Nicel bir cevap istiyor.

— whuber