Laplace iki normal ürünün toplamıdır?

Görünüşe göre ise $X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Her zaman korkunç merkezi olmayan ki-kare ifadeleriyle sonuçlanan keyfi kuadratik formlarla ilgili makaleler gördüm.

Yukarıdaki basit ilişki benim için hiç açık görünmüyor, bu yüzden (eğer doğruysa!) Yukarıdakilerin basit bir kanıtı var mı?

— Corone
kaynak

Dağılımlar arasında iyi bilinen ilişkileri kullanan basit bir adım dizisi ve basit bir cebirsel polarizasyon kimliği , temel ve sezgisel bir gösteri sağlar.

Bu polarizasyon kimliğini, rasgele değişkenlerin ürünleri hakkında düşünmek ve bunlarla işlem yapmak için genellikle yararlı buldum, çünkü onları doğrusal kareler kombinasyonlarına indirgiyor. İlk önce matrislerle köşegenleştirerek çalışmak gibidir. (Burada yüzeysel bir bağlantıdan daha fazlası var.)

Laplace dağılımı iki Exponentials'ın bir farkıdır (sezgisel olarak mantıklıdır, çünkü Exponential bir "half Laplace" dağılımıdır). (Bağlantı, karakteristik işlevleri manipüle ederek gösterir, ancak ilişki, bir kıvrım olarak farkın tanımlanmasından sonra temel bir entegrasyon kullanılarak kanıtlanabilir.)

Üstel dağılım (kendisi dağıtımıdır) da (a) dağılımının (ölçekli bir versiyonudur . Ölçek faktörü . Bu, iki dağılımın PDF'lerini karşılaştırarak kolayca görülebilir. $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

$\chi^2$ dağılımları doğal olarak iid Normal dağılımlarının karelerinin toplamı (sıfır ortalamaya sahip) olarak elde edilir. Serbestlik derecesi, , toplamdaki Normal dağılım sayısını sayar. $2$

Cebirsel ilişki

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

her biri standart Normallerin doğrusal bir kombinasyonu olan dört dağılımın kareleri açısından sergiler . Dört doğrusal kombinasyonun hepsinin doğrusal olarak bağımsız olduğunu kontrol etmek kolaydır (ve her biri Normal dağılımını takip eder). Böylece, ortalama sıfırın aynı şekilde dağılmış iki Normal dağılımının karelerini toplayan ilk iki terim ölçeklendirilmiş bir dağılımı (ve tam olarak Üstel dağılım yapmak için gerekli olan şeydir) ve ikinci iki terim de aynı nedenden ötürü bağımsız olarak Üstel dağılıma sahiptir. $X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

Bu nedenle , iki bağımsız Üstel dağılımın farkı olan (standart) Laplace dağılımı vardır. $X_1X_2+X_3X_4$

— whuber
kaynak

Bu kesinlikle hoş!

— Corone

Sadece anı üreten fonksiyonlara dayanan başka bir cevabın stats.stackexchange.com/a/51717/919 adresinde göründüğünü fark ettim : ortadaki paragrafa "tesadüfen" bakın (Laplace dağıtımı için başka bir isim "iki katlamalı" ). Bu konu, mevcut sorunun genelleştirilmesi için MGF ile ilgilidir.

— whuber

Güzel bir türev, ancak iki bağımsız üstel dağıtılmış değişkenin farkının Laplacian dağılımı olduğunu nereden biliyorsunuz?

— HelloGoodbye

@Hello Lütfen bağlantıyı takip edin: kısa bir gösterim içeren bir Wikipedia makalesine gider.

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$ , normal bir ürün standardının karakteristik işlevinin karesi olan karakteristik işlevine sahiptir (bkz. Https : //math.stackexchange.com/questions/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variables ). İddia, bağımsız rasgele değişkenlerin toplamlarının, karakteristik fonksiyonların ürünleri ile ilgili olmasından kaynaklanmaktadır.

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$

— Michael M
kaynak