Beklentilerde abonelik notasyonu

Ölçü teorisi çerçevesinde koşullu beklentilerde alt notasyonunun tam anlamı nedir ? Bu abonelikler şartlı beklentinin tanımında görünmemektedir, ancak örneğin bu tür Wikipedia'yı görebiliriz . ( Birkaç ay önce her zaman aynı sayfa olduğuna dikkat edin ). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Örneğin, ile ve anlamı ne olmalıdır ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
kaynak

Hiç şüphe yok ki, birileri resmi tanımlamalar ile boğulacak, gayrı resmi olarak, tüm beklentiler açıkça belirtilmiş veya açık bırakılmış olsun, bazı (muhtemelen çok değişkenli) rasgele değişkenin (/ ile ilgili beklenti) dağılımına ilişkin beklentilerdir. Pek çok durumda, (bariz ima yerine ). Diğer zamanlarda, ayırt etmek gerekir; Toplam varyans kanununu göz önünde bulundurun, örneğin: .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b 12:13

@Glen_b Toplam sapma yasasında belirtmek gerçekten gerekli mi? Olarak , bazıları için , bu açık değildir üzerinde ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle

@ThomasAhle Çok haklısın - "gerekli" bu örnek için çok güçlüydü. Açıkça konuşulması gerektiği açık olmasına rağmen, onunla çalışmaktan hoşlanmayan okuyucular için genellikle bir karışıklık noktasıdır; bu nedenle, açık olmak gerekirse, gerekenden ziyade yaygındır.

— Belirtmeden

Birden fazla rastgele değişkenin dahil olduğu bir ifadede, tek başına sembolü , hangi rasgele değişkenin "alındığı" beklenen değer olduğunu netleştirmez . Örneğin $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ veya

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Hiçbiri . Birçok rasgele değişken söz konusu olduğunda ve sembolünde bir alt simge yoksa, ortak dağılımlarına göre beklenen değer alınır: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Bir abonelik olduğunda ... bazı durumlarda bize hangi değişkeni şartlandırmamız gerektiğini söyler . Yani

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Fakat diğer durumlarda, bize "ortalama" için hangi yoğunluğu kullanacağımızı söyler.

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Kafam karıştı, diyebilirim, ama kim bilimsel gösterimin belirsizlikten ve çoklu kullanımdan tamamen arınmış olduğunu söyledi? Her yazarın bu tür sembollerin kullanımını nasıl tanımladığına bakmalısınız.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

İki sorum var. 1) Bunu doğru anlayabildiğimden emin değilim, eğer X ya da Y düzeltilmişse, beklentiyi ilk iki denklemden biri olarak yorumlayabilir miyim? 2) EQ 4 ve EQ 5 için bir örnek verebilir misiniz? Onları yorumlamakta zorlanıyorum ve somut örneklerin yardımcı olacağını düşünüyorum. Teşekkürler!

— tavan kedisi,

@ceiling kedi 1) esasen, çünkü doğru değil sahip Artık iki rastgele değişken. Aynı şekilde sabitlemek için için .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

Katlanan kedi 2) -EQ5: düşünün . uygun rastgele bir değişkendir (uygun bir destek için). Ardından kısa el notasyonu için özel anlamlar kullanıldığında, burada , yoğunluğu (her ne ise). Açıkçası birleşmiş değil ve bozulmadan kalacaktır. t bir sayı (önceki yorumumda olduğu gibi), ancak rastgele bir değişken ( bir işlevi ), çünkü burada sabit değildir , sadece bütünleşik değildir

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ceiling cat Her iki durumda da önceki iki yorumumda matematiksel hesaplamaların "mekaniği" aynı olacaktır. Sonuçta farklı yorumlar olsa da.

— Alecos Papadopoulos 14:13

@ceiling cat 2) -EQ4: Aynı rastgele değişkeni düşünün . koşullu için beklenen değeri (kısa gösterim için diğer anlamı kullanarak) . Burada ve direk olarak görünmediğine ve sembolünde "yoğun" olduklarına dikkat edin .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos