Bootstrap örneğinin örnek ortalamasının varyansı

9

Let ayrı gözlemler (hayır bağları) olmak. Let anlamında olabildikleri, bir ön yükleme örneği (deneysel CDF bir numune) ve izin . ve bulun . $X_{1},...,X_{n}$ $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ $E(\bar{X}_{n}^{*})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

Şimdiye kadar ne olması olan olasılığı her yüzden ve ki verir $X_{i}^{*}$ $X_{1},...,X_{n}$ $\frac{1}{n}$

E (X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} E (X_{1}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

E (X_{i}^{* 2}) = \frac{1}{n} E (X_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}^{2}) = \frac{n (μ^{2} + σ^{2})}{n} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$

V a r (X_{i}^{*}) = E (X_{i}^{* 2}) - (E (X_{i}^{*}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

Ardından, ve itibaren ' s bağımsızdır. Bu

E ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i}^{*}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = V a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r (X_{i}^{*})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

Ancak, $X_{1},\ldots,X_{n}$ koşulunu kullandığımda ve formülü koşullu varyans için kullandığımda aynı cevabı alamıyorum :

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (V a r ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, . . ., X_{n})) + V a r (E ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, \dots, X_{n})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ ve bu yüzden bunları yukarıdaki formüle yapıştırdığınızda (bazı cebirlerden sonra) . $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$

Burada yanlış bir şey mi yapıyorum? Duygularım, koşullu varyans formülünü doğru şekilde kullanmıyorum ama emin değilim. Herhangi bir yardım mutluluk duyacağız.

— rrruss
kaynak

Belki de V (E (X | X1..Xn)) doğru hesaplanmamıştır. Cevap aynı olmalı.

Muhtemelen haklısınız - ancak bu cevap son derece bilgilendirici görünmüyor. Belki hangi kısmın doğru olmadığını gösterebilirsiniz?

— whuber

5

Doğru cevap . Burada çözüm # 4 $\frac{n-1}{n^2}S^2$

— Greg
kaynak

4

Bu geç bir cevap olabilir, ancak hesaplamanızda yanlış olan şey şudur: bootstrap örneğinizin koşulsuz olarak gerçekleştiğini varsaydınız. Bu yanlıştır: örneğinizde koşullu, bootstrap örneği gerçekten doğrudur, ancak koşulsuz olarak bağımsızlığını kaybedersiniz (ancak yine de aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenleriniz vardır). Bu esasen Larry Wasserman'daki 13. Alıştırma Tüm parametrik olmayan istatistikler .

— M Turgeon
kaynak