Aynı anlara sahip dağılımların aynı olup olmadığı

Aşağıda, buradaki ve buradaki önceki yayınlara benzer ancak farklı

Tüm siparişlerin momentlerini kabul eden iki dağılım göz önüne alındığında, iki dağılımın tüm momentleri aynı ise, aynı dağıtımlar ae mıdır?
Moment üreten fonksiyonları kabul eden iki dağılım göz önüne alındığında, eğer aynı momentlere sahiplerse, moment üreten fonksiyonları aynı mıdır?

— Tim
kaynak

2. soruya göre, genel olarak inanıyorum, eğer iki fonksiyon aynı MGF'ye sahipse (eğer 0 açık bir mahallede varsa), aynı dağıtımı takip ederler. Ne yazık ki, oldukça karmaşık olduğu için kanıtı bilmiyorum. Umarım bu biraz yardımcı olur.

— nicefella

@ nicefella Kanıt nispeten kolaydır: MGF'yi hayali değerlerle değerlendirmek, dağıtımı üretmek için tersine çevrilebilen karakteristik işlevi verir. MGF'nin menşe mahallesinde analitik olması koşuluyla tersine çevirme çalışmaları.

— whuber

Ters sırayla cevap vereyim:

2. Evet. MGF'leri varsa, aynı olacaklardır *.

örneğin buraya ve buraya bakınız

Gerçekten de bu yazıya verdiğiniz sonuçtan kaynaklanmaktadır; MGF benzersiz bir şekilde ** dağılımı belirlerse ve iki dağıtım MGF'ye sahipse ve aynı dağılıma sahiplerse, aynı MGF'ye sahip olmalıdırlar (aksi takdirde 'MGF'ler benzersiz bir şekilde dağıtımları belirler').

* 'hemen hemen her yerde' ifadesi nedeniyle belirli 'aynı' değerleri için

** ' neredeyse her yerde '

Hayır - çünkü karşı örnekler var.

Kendall ve Stuart, aynı andaki dizilere sahip olan ve yine de farklı olan sürekli bir dağıtım ailesi (muhtemelen başlangıçta Stieltjes veya bu vintageden biri nedeniyle) listeliyor, ancak hatırlamam net değil, birkaç on yıl oldu).

Romano ve Siegel'in kitabı (Olasılık ve İstatistikteki Karşı Örnekler) bölüm 3.14 ve 3.15'teki karşı örnekleri listeler (sayfa 48-49). (Aslında onlara baktığımda her ikisinin Kendall ve Stuart'da olduğunu düşünüyorum.)

Romano, JP ve Siegel, AF (1986),
Olasılık ve İstatistikte Karşı Örnekler.
Boca Raton: Chapman ve Salon / CRC.

3.15 için Feller, 1971, p227

Bu ikinci örnek yoğunluk ailesini içerir

f (x; α) = \frac{1}{24} tecrübe (- x^{1 / 4}) [1 - α günah (x^{1 / 4})], x > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

$\alpha$

Moment sekanslarının aynı olması bölünmesini içerir $f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

ve sonra ikinci parçanın her bir an için 0 katkıda bulunduğunu göstererek, hepsi birinci parçanın anlarıyla aynıdır.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

aynı anlara, farklı yoğunluklara örnek

Daha da iyisi, belki de, çok daha büyük bir aralık alması ve x ekseninde dördüncü kök ölçeği kullanması, mavi eğriyi düz hale getirme ve yeşil olan, yukarıdaki gibi bir günah eğrisi gibi hareket eder:

resim açıklamasını buraya girin

Mavi eğrinin üstündeki ve altındaki kıvrımlar - ister daha büyük ister daha küçük büyüklükte olsun - tüm pozitif tamsayı anlarını değiştirmeden bırakın.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Teşekkürler! İkinci soruma verdiğiniz yanıtta, "belirli" değerler "için ne anlama geliyor? İlk soruma karşı örnek verebilir misiniz?

— Tim

Bu sadece bir önceki sorudaki 'hemen hemen her yerde' neden olan gerekli niteliklere bir göndermedir. Bu yüzden karşı örnekler, neredeyse her yerde aynı olan ancak sayılabilir bir nokta alt kümesinde farklı olan yoğunluk işlevlerine bakabilirdi - Daha önce size bir örnek verdim.

— Glen_b

İlk sorum için, (ikinci sorumun cevabına göre evet ve önceki yazıdaki soruma göre), tüm karşı örnekler her iki dağıtımın moment üreten fonksiyonları kabul etmediği durumda mıdır?

— Tim

Bunun olması gerektiği, "mgf sıfır içeren açık bir aralıkta sonlu ise, o zaman ilişkili dağılımın bağlı olduğuma inandığım kardinal cevabında anları ile karakterize edilir" ifadesinin bir sonucudur. Bir mgf bu anlamda sonlu değilse, dağılımın anlarıyla karakterize edilmemesinin tek yolu budur.

— Glen_b

İlk soru stats.stackexchange.com/questions/25010/… adresinde ve OP'nin son soruları stats.stackexchange.com/questions/84158/… adresinde yanıtlandı . Feller örneği Stuart & Ord'daki Stieltjes'e (Feller'ın zamanından çok önce) atfedilir.

— whuber