Bağımlı ki-kare rasgele değişken oranının dağılımı

Varsayalım bağımsızdır. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Sorum şu, dağıtım ne işe yarıyor

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

takip et? Buradan biliyorum ki olarak ifade edilen ki-kare rasgele değişkenlerin oranı bir Beta dağılımını takip eder. Bunun ve arasında bağımsızlık olduğunu düşünüyorum . Benim durumumda, paydası kare bileşenlerini içeriyor . $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Beta dağılımının bir varyasyonunu da izlemesi gerektiğini düşünüyorum ama emin değilim. Ve eğer bu varsayım doğruysa, bunu nasıl kanıtlayacağımı bilmiyorum. $Z$

— x0dros
kaynak

Payda dağılımı rotasyonlar altında değişmez olduğundan, eşit değerine sorunuzu tanıdık bir şeye indirgeyebilirsiniz :-).

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

Eminim @whuber tam olarak orada yazılan şey anlamına gelir. 'Aday' dediğinde 'pay' mı demek istedin?

— Glen_b

Bir şeyi döndürdüğünüzde (tanım gereği) uzunluğunu koruyun. Bu nedenle, herhangi bir döndürülmüş bir versiyonuna varyansı varyansını eşit olmalıdır

olduğu,

: O en

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

terimi gelir.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber Cevabınız gerçekten çok ilginç görünüyor ama bu konuda bazı şüphelerim var. Eğer ben dönebilmeleri derken

eşit olma

X

$X$

, bu temel olarak

payını

olarakyeniden yazabileceğim anlamına gelirve sonuç olarak

kendisi

dönüşür

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

. Şimdi, varsayalım

ve o zamandan beri

bağımsız ben varsayabiliriz

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

bir sahiptir

vb dağıtım ve. Demek istediğim şu ana kadar mı? İşte benim karışıklığım. Dönme değişmezliği ve modifyi kavramını kullanmadan önce

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$

— ssah

@ssah Sen benim akıl yürütme uygulamanızda err: olmadan

paydada, dağıtım keyfi rotasyonlar artık değişmez olduğu

sonuçlar bu nedenle artık tutun ve.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Bu yazı, soruya yapılan yorumların cevaplarını detaylandırmaktadır.

Let . Herhangi bir saptamak birim uzunluğu. Böyle bir vektör, her zaman ortonormal esasına tamamlanabilir (vasıtasıyla Gram-Schmidt işlemi , örneğin). Bu temel değişim (olağan olandan) diktir: uzunlukları değiştirmez. Böylece dağılımı $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

bağlı değildir . Alarak gösterir, bu aynı dağılımı olarak var $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

Yana olarak Normal IID edilir, bunlar yazılmış olabilir kez standart normal değişkenler IID ve onların kareler vardır kez dağılımları. Yana toplamı bağımsız dağılımları olan $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ , in dağılımının $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

burada ve bağımsızdır. Olduğu iyi bilinen bu oran bir Beta sahip olduğu $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ dağıtım. (Aynı zamanda yakından ilgili iplik bakınızDağıtım ise Beta ve ki-kare ile derece). $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

Yana

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, ..., 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

birim vektör , biz sonucunaise $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ kez betadeğişken. $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ İçinbu nedenle yoğunluğu fonksiyonu vardır $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

aralığında ve aksi halde sıfır). $(0,n)$

Bir kontrol olarak, ve için bağımsız gerçekleştirmesi simüle ettim , histogramlarını çizdim ve karşılık gelen Beta yoğunluğunun grafiğini (kırmızı olarak) üst üste koydum. Anlaşmalar mükemmel. $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

İşte Rkod. Bu formül aracılığıyla simülasyonu gerçekleştirir sum(x)^2 / sum(x^2)için , uzunluğunun bir vektör tarafından oluşturulan . Gerisi sadece döngü ( , ) ve çizim ( , ). $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
kaynak