Dağıtımda Yakınsama \ CLT

verildiğinde , koşullu dağıtım. ve ise . marjinal dağılımı var. Poisson ( ), pozitif bir sabittir. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Bu Şekli $\theta \rightarrow \infty$ , $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$ dağılımı.

Herkes bunu çözmek için stratejiler önerebilir. Görünüşe göre CLT (Merkezi Limit Teoremi) kullanmamız gerekiyor, ancak hakkında tek başına bilgi almak zor görünüyor . üretmek için bir örnek almak için tanıtılabilen bir rv var mı ? $Y$ $Y$

Bu ödev yani ipuçları takdir.

— user42102
kaynak

Bana da bir clt gibi görünüyor. Belki zaten sizin için açıktır, ama teta-> Infinity olarak N'ye ne olur?

— PeterR

N'nin dağılımına bakmalı mıyım? Onunla oynarsam, pdf her zaman 0 olacak gibi görünüyor. Bundan ne çıkarabilirim?

— user42102

poisson (teta) rasgele değişkeninin ortalaması nedir?

— PeterR

Bu sorudaki N ve CLT tanımındaki örnek boyutu n'yi karıştırdım. Yani . Böylece N'nin beklenen değerinin sonsuza yaklaştığını görüyoruz. Yine de buradan nereye gideceğimi bilmiyorum.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102

Merkezi olmayan chi kare dağılımına bakmalısınız. Sınırın normal olduğunu kanıtlamak, korktuğum CLT'nin basit bir uygulamasından daha karmaşık olacaktır.

— caburke

Yanıtlar:

olarak tanımlanan karakteristik fonksiyonların özelliklerine dayanan bir çözüm Dağılımın karakteristik fonksiyon tarafından benzersiz bir şekilde tanımlandığını biliyoruz, bu yüzden ve bundan sonra istenen yakınsama gerçekleşir.

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Bunun için , toplam beklentiler / varyans yasasını kullandığım ortalamasını ve varyansını hesaplamam gerekecek - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . Poisson dağılımının ortalaması ve varyansı ve ortalama ve nin varyansı ve . Şimdi karakteristik fonksiyonları ile matematik geliyor. İlk başta tanımını yeniden olarak $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Şimdi belirtmektedir ki teoremi kullanmak karakteristik fonksiyonu , 'dir: http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$

Şimdi biz için karakteristik fonksiyonu hesaplayabilir Taylor açılımı kullanarak Sonunda karakteristik fonksiyonların özelliklerini kullanıyoruz ana kadar çok uzun olduğu için kalkülüsün üzerinden atladım ... $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Fimba
kaynak

Bu, merkezi olmayan kesişen dağılım ile ilişki yoluyla gösterilebilir. Üzerinde özgürce referans vereceğim iyi bir wikipedia makalesi var! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

Bunu verdik ile ki-kare dağıtılır için, serbestlik derecesi . Burada beklentisi ile Poisson dağılımını vardır . $Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

Sonra, yoğunluk fonksiyonunun (koşulsuz olarak) toplam olasılık yasası kullanılarak Serbestlik derecesi parametresi hariç , neredeyse merkezi olmayan bir değişkenli değişkenin yoğunluğu , bu gerçekten tanımsız. (bu, wikipedia makalesinin tanım bölümünde verilmiştir). $Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

İyi tanımlanmış bir şey elde etmek için yukarıdaki formülü ki olduğu bir konsolide bütçe dışında kalan chisquared değişken yoğunluk olmayan dışmerkezlik parametre özgürlük dereceleri . Bu nedenle, analizimizde, sınırını aldıktan sonra olduğunda sınırı almayı unutmamalıyız . Bu sorunsuzdur, çünkü sınırında olasılığı

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ sıfıra gider, bu yüzden sıfırdaki nokta kütlesi kaybolur (sıfır serbestlik derecesine sahip kesikli değişken sıfırdaki bir nokta kütlesi olarak yorumlanmalıdır, bu nedenle yoğunluk fonksiyonu yoktur).

Şimdi, her sabit , wiki, bölümle ilgili dağılımlar, normal yaklaşımlar ve her için istenen standart normal limiti veren sonucu kullanın . Daha sonra, sıfıra gittiğinde sınırı alır , bu da sonucu verir. $k$ $k$ $k$

— kjetil b halvorsen
kaynak