Üstel aile dağılımları için ortalama ve varyans her zaman var mı?

Skaler rasgele bir değişken $X$ pdf ile bir vektör parametresi üstel ailesine ait olduğunu varsayın

f_{X} (x | θ) = h (x) tecrübe (Σ_{ben = 1}^{s} η_{ben} (θ) T_{ben} (x) - bir (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

burada ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ parametre vektörü ve $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ eklemin yeterli istatistiğidir.

Her için ortalamanın ve varyansın $T_i(x)$ mevcut olduğu gösterilebilir. Bununla birlikte, $X$ (yani $E(X)$ ve $Var(X)$ ) için ortalama ve varyans da her zaman mevcut mu? Değilse, ortalaması ve değişkeni olmayan bu formun üstel bir aile dağılımı örneği var mı?

Teşekkür ederim.

— Wei
kaynak

Alarak , , ve verir sağlanan , üreten $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

şekil

Grafikleri için gösterilmiştir (sırasıyla, mavi, kırmızı, ve altın). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Açıkça mutlak ağırlık anları veya daha fazlası yoktur, çünkü ile asimptotik olarak orantılı olan , yalnızca ise sınırlarında bir yakınsak integral üretecektir . Özellikle, bu dağılımın bir ortalaması bile yoktur (ve kesinlikle bir fark yoktur). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
kaynak

koşulunu anlamıyorum . Şunu mu demek istediniz: ? Ne zaman , tanımlanmış ve olmayan negatiftir ve pdf olamaz bana ne cevapsız bildirin. Teşekkürler.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Wei

Özür dilerim, çünkü hesaplamasında eksi işareti atlandı . Formüllerde değiştirdim. Gerçekten demek istiyorum .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

Örnek için teşekkürler. anlarına katılıyorum . kendisinin anlarına ne dersiniz ? Örneğin, yukarıdaki örnekte olduğunda, var mı?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Wei

Lebesgue integrali, integralin pozitif ve negatif kısımları olarak tanımlandığından, momentleri yalnızcavar olmak.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei: yalnızca . Bu kısıtlama olmadan, bazı CDF'ler için beklenti benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis