Gelman ve Rubin yakınsama teşhisi, vektörlerle çalışmak nasıl genelleştirilir?

Gelman ve Rubin teşhisi, paralel olarak çalışan çoklu mcmc zincirlerinin yakınsamasını kontrol etmek için kullanılır. Zincir içi varyansı zincirler arası varyansla karşılaştırır, açıklama aşağıdadır:

Adımlar (her parametre için):

Aşırı dağılmış başlangıç değerlerinden 2n uzunluğunda m ≥ 2 zincirleri çalıştırın.
Her zincirdeki ilk n çekişi atın.
Zincir içi ve zincirler arası varyansı hesaplayın.
Parametrenin tahmini varyansını, zincir içi ve zincirler arası varyansın ağırlıklı toplamı olarak hesaplayın.
Potansiyel ölçek azaltma faktörünü hesaplayın.
Liste öğesi

Bu istatistiği kullanmak istiyorum ama kullanmak istediğim değişkenler rastgele vektörler.

Bu durumda kovaryans matrislerinin ortalamasını almak mantıklı mı?

mcmc convergence covariance-matrix

— Tim
kaynak

Öneri: PSRF'yi her skaler bileşen için ayrı ayrı hesaplayın

Gelman ve Rubin [1] ile orijinal ürünün yanı sıra Bayes Veri Analizi Gelman ve ark ders kitabı. [2], ilgili her skaler parametre için potansiyel ölçek azaltma faktörünün (PSRF) ayrı ayrı hesaplanmasını önerir. Yakınsama sonucunu çıkarmak için, tüm PSRF'lerin 1'e yakın olması gerekir. Parametrelerinizin rastgele vektörler olarak yorumlanması önemli değildir, bileşenleri PSRF'leri hesaplayabileceğiniz skalerdir.

Brooks & Gelman [3], bu cevabın bir sonraki bölümünde gözden geçirdiğim PSRF'nin çok değişkenli bir uzantısını önerdiler. Ancak, Gelman ve Shirley [4] alıntı yapmak için:

[...] bu yöntemler bazen aşırıya kaçmayı temsil edebilir: çok değişkenli bir dağılımın simülasyonlarının yaklaşık yakınsaması çok uzun zaman alsa bile, bireysel parametreler iyi tahmin edilebilir.

Alternatif: Brooks & Gelman tarafından çok değişkenli uzatma

Brooks & Gelman [3], tahmin edilen kovaryans matrisini (4. adımınız) zincir içi ( ) ve zincirler arası ( ) kovaryans matrislerinin (sizin adım 3): burada zincir uzunluğudur. Daha sonra, kovaryans matrisleri arasındaki mesafe için bazı skaler metrik tanımlanması gerekir . Yazarlar burada $W$ $B$

\hat{V} = \frac{n - 1}{n} W + \frac{1}{n} B,

$\begin{equation} \hat{V} = \frac{n-1}{n}W + \frac{1}{n}B, \end{equation}$

n

$n$

\hat{V}, W

$\hat{V},W$

\hat{R} = max_{a} \frac{a^{T} \hat{V} a}{a^{T} W a} = \frac{n - 1}{n} + (\frac{m + 1}{m}) λ_{1},

$\begin{equation} \hat{R} = \max_a \frac{a^T\hat{V}a}{a^TWa} = \frac{n-1}{n} + \left(\frac{m+1}{m}\right)\lambda_1, \end{equation}$

m

$m$ zincir sayısıdır, eşitlik makalede en büyük pozitif özdeğeridir . Daha sonra yazarlar, zincirlerin yakınsaması altında, ve dolayısıyla büyük bu çok değişkenli 1'e yakınlaşması gerektiğini savunuyorlar .

λ_{1}

$\lambda_1$

W^{- 1} \hat{V} / n

$W^{-1}\hat{V}/n$

λ_{1} \to 0

$\lambda_1\rightarrow 0$

n

$n$

\hat{R}

$\hat{R}$

Referanslar

[1] Gelman, Andrew ve Donald B. Rubin. "Çoklu diziler kullanarak yinelemeli simülasyondan çıkarım." İstatistik Bilimi (1992): 457-472.

[2] Gelman, Andrew, vd. Bayesci veri analizi. CRC yayınları, 2013.

[3] Brooks, Stephen P. ve Andrew Gelman. "Yinelemeli simülasyonların yakınsamasını izlemek için genel yöntemler." Hesaplamalı ve Grafik İstatistik Dergisi 7.4 (1998): 434-455.

[4] Gelman, Andrew ve Kenneth Shirley. Msgstr "Simülasyonlardan çıkarım ve yakınsaklığın izlenmesi". (Bölüm 6, Brooks, Steve ve diğerleri, eds. Markov Chain Monte Carlo El Kitabı. CRC Press, 2011.)

Ders kitabı [2] dışındaki tüm makaleleri Andrew Gelman'ın web sitesinde Andrew Gelman'ın web sitesinde bulabilirsiniz .

— Juho Kokkala
kaynak