Durağanlığın sezgisel açıklaması

Bir süredir kafamda durağanlıkla güreşiyordum ... Bunu böyle mi düşünüyorsun? Herhangi bir yorum veya daha fazla düşünce takdir edilecektir.

Durağan süreç, dağıtım ortalaması ve varyans sabit tutulacak şekilde zaman serisi değerleri üreten işlemdir. Açıkçası, bu zayıf durağanlık biçimi veya kovaryans / ortalama durağanlık olarak bilinir.

Durağanlığın zayıf şekli, zaman serisinin zaman boyunca sabit ortalamaya ve varyansa sahip olmasıdır.

Basitçe söyleyelim, uygulayıcılar sabit zaman serilerinin trend olmayan seriler olduğunu söylüyorlar - sabit ortalama etrafında dalgalanıyor ve sürekli varyansa sahipler.

Farklı gecikmeler arasındaki kovaryans sabittir, zaman serilerindeki mutlak yere bağlı değildir. Örneğin, t ve t-1 (birinci dereceden gecikme) arasındaki kovaryans daima aynı olmalıdır (1960-1970 dönemi için, 1965-1975 dönemi veya başka bir dönem için olanla aynı).

Durağan olmayan süreçlerde serinin geri döndüğü uzun dönemli bir ortalama yoktur; sabit olmayan zaman serilerinin geri dönmek anlamına gelmediğini söylüyoruz. Bu durumda, varyans zaman serilerindeki mutlak konuma bağlıdır ve zaman geçtikçe varyans sonsuza gider. Teknik olarak, otomatik korelasyonlar zamanla bozulmaz, ancak küçük örneklerde yavaş olsa da kaybolurlar.

Durağan süreçlerde, şoklar geçicidir ve zamanla dağılır (enerji kaybeder). Bir süre sonra yeni zaman serisi değerlerine katkıda bulunmazlar. Örneğin, Dünya Savaşı gibi gün önce (yeterince uzun) gerçekleşen bir şeyin etkisi vardı, ancak bugünkü zaman serisi, II.Dünya Savaşı'nın hiç yaşanmamış olmasıyla aynı, şokun enerjisini kaybettiğini söyleyebiliriz ya da dağılmıştır. Durağanlık özellikle önemlidir çünkü birçok klasik ekonometrik teori durağanlık varsayımları altında türetilmiştir.

Durağanlığın güçlü bir biçimi, bir zaman serisinin dağılımının tam olarak aynı oluk zamanı olmasıdır. Başka bir deyişle, orijinal zaman serilerinin dağılımı, gecikmeli zaman serileriyle (herhangi bir sayıda gecikme ile) veya zaman serisinin alt segmentleriyle tam olarak aynıdır. Örneğin, güçlü form, dağılımın 1950-1960, 1960-1970 alt segmentleri veya hatta 1950-1960 ve 1950-1980 gibi çakışan dönemler için bile aynı olması gerektiğini düşündürmektedir. Bu durağanlık formuna güçlü denir, çünkü herhangi bir dağılım varsaymaz. Sadece olasılık dağılımının aynı olması gerektiğini söylüyor. Zayıf durağanlık durumunda, dağılımı ortalama ve varyans olarak tanımladık. Bu basitleştirmeyi yapabiliriz, çünkü dolaylı olarak normal dağılım varsaydık, ve normal dağılım ortalama ve varyansı veya standart sapması ile tam olarak tanımlanır. Bu, dizinin olasılık ölçüsünün (zaman serileri dahilinde) aynı zaman serisindeki gecikmeli / kaydırılmış değer dizisi ile aynı olduğunu söylemekten başka bir şey değildir.

Her şeyden önce, durağanlığın bir zaman serisinin değil, bir sürecin bir özelliği olduğunu belirtmek önemlidir. Bir süreç tarafından üretilen tüm zaman serilerinin topluluğunu düşünürsünüz. Bu topluluğun istatistiksel özellikleri¹ (ortalama, varyans,…) zaman içinde sabit ise, sürece durağan denir . Kesin olarak, belirli bir zaman serisinin sabit bir süreç tarafından üretilip üretilmediğini söylemek imkansızdır (ancak bazı varsayımlarla iyi bir tahmin yapabiliriz).

Daha sezgisel olarak, durağanlık, süreciniz için zaman içinde belirgin bir nokta olmadığı anlamına gelir (gözleminizin istatistiksel özelliklerini etkiler). Bunun belirli bir işlem için geçerli olup olmaması, büyük ölçüde süreciniz için sabit veya değişken olarak değerlendirdiğiniz şeylere, yani topluluğunuzda nelerin bulunduğuna bağlıdır.

Durağan olmamanın tipik bir nedeni, zaman noktalarını parametrelerin değerleriyle ayırt etmeyi sağlayan zamana bağlı parametrelerdir. Başka bir neden sabit başlangıç ​​koşullarıdır.

Aşağıdaki örnekleri düşünün:

• Belirli bir zamanda geçen tek bir arabadan evime ulaşan gürültü sabit bir süreç değildir. Örneğin, ortalama genlik², araba doğrudan evimin yanında olduğunda en yüksektir.

• Genel olarak sokak trafiğinden evime ulaşan gürültü, trafik yoğunluğunun zamana bağlılığını göz ardı edersek sabit bir süreçtir (örneğin, gece veya hafta sonları daha az trafik). Artık zaman içinde belirgin bir nokta yok. Bireysel zaman serilerinde güçlü dalgalanmalar olsa da, bunlar sürecin tüm gerçekleşmelerinin topluluğunu düşündüğümde yok olur.

• Trafik yoğunluğu üzerinde bilinen etkileri dahil edersek, örneğin geceleri daha az trafik olduğu takdirde, süreç tekrar durağan değildir: Ortalama genlik² günlük ritimle değişir. Zamandaki her nokta günün saati ile ayırt edilir.

• Bir tencerenin kaynar su içerisindeki konumu sabit bir süreçtir (buharlaşma nedeniyle su kaybını göz ardı ederek). Zaman içinde belirgin bir nokta yok.

• tam ortada bırakılan bir kaynar su kabındaki tek bir karabiberin konumu sabit bir süreç değildir, çünkü zaman içinde ayırt edici bir noktadır. Biberlerin ortalama konumu her zaman ortadadır (ayırt edici yönleri olmayan simetrik bir tencere varsayarak), ancak ( küçük ile), biberin işlemin her gerçekleşmesi için ortada bir yerde olduğundan emin olabiliriz. , daha sonraki bir zamanda, potun sınırına daha yakın olabilir.t = $t=0$$t=0$$t=ε$$ε$

  Böylece pozisyonların dağılımı zaman içinde değişir. Belirli bir örnek vermek gerekirse, standart sapma büyür. Dağıtım hızlı bir şekilde önceki örneğin ilgili dağılımlarına yakınsar ve için bu sürece sadece yeterince yüksek bir ile bakarsak, durağanlığı ihmal edebilir ve tüm amaçlar için sabit bir süreç olarak yaklaşık hale getirebiliriz - başlangıç ​​durumunun etkisi azaldı.$t>T$$T$

^{Practical Pratik amaçlar için, bu bazen ortalamaya ve varyansa (zayıf durağanlık) indirgenir, ancak bunu kavramı anlamak için yararlı bulmuyorum. Siz durağanlığı anlayana kadar zayıf durağanlığı görmezden gelin.
² ses şiddeti ortalama, ama gerçek ses sinyalinin standart sapması (burada bu konuda çok fazla endişelenmeyin).}

Netlik sağlamak için, bir veri noktası herhangi bir zaman serisi de eklemek gerekir , normal olarak sabit bir ortalama ve varyans ile zaman içinde dağıtılmış olarak kabul edilir güçlü normal dağılım her zaman aynı olasılık dağılımı eğrisi olacaktır, ortalama ve standart sapma (verilen yana sabit zaman serisi normal denkleme girişler sadece ortalamaya ve standart sapmaya bağlıdır).

Örneğin, t-dağılım denklemine bir girdinin, sabit bir ortalama ve sabit standart sapmaya rağmen dağılım eğrisinin şeklini etkileyen gama olduğu bir t-dağılımı söz konusu değildir.