Rahat ne zaman zor sayıyor?

Diyelim ki, ağırlıklı renkleri aşağıdaki gibi sayarak uygun renklendirme sayma problemini gevşetelim: her uygun renklendirme ağırlık 1 alır ve her uygunsuz renklendirme ağırlık alır , bazı sabit ve uç uçlu renklerin sayısı aynıdır. Olarak 0 gider, bu bir çok şekil için de zordur uygun renklendirici sayma azaltır. C 1 olduğunda, her renk aynı ağırlık alır ve sorun önemsizdir. Grafiğin bitişik matrisi çarpıldığında altında spektral yarıçapa sahipse c v c - kütük ( c ) / 2 1 - $c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$, bu toplam yakınsama garantisi ile inanç yayılması ile yaklaşık olabilir, bu yüzden pratikte kolaydır. Teoride de kolaydır, çünkü belirli bir hesaplama ağacı korelasyonların bozunması sergiler ve dolayısıyla garantili yaklaşım için polinom zaman algoritmasına izin verir - Tetali, (2007)

Sorum şu - grafiğin diğer özellikleri bu sorunu yerel algoritmalar için zorlaştırıyor mu? Sadece küçük bir 'lerin adreslenebileceği anlamında zor .$c$

Düzenleme 09/23 : Şimdiye kadar bu problem sınıfı için iki belirleyici polinom yaklaşımı algoritması ile karşılaştım (Weitz'in STOC2006 kağıdının ve Gamarnik'in “boşluk genişletme” yaklaşımının türevleri) ve her iki yaklaşım da öz dallanma faktörüne bağlıdır. grafik üzerinde yürüyüşler yapmamak. Spektral yarıçap ortaya çıkıyor, çünkü bu dallanma faktörü üzerinde bir üst sınır var. O zaman soru şu - bu iyi bir tahmin mi? Düzenli yürüyüşlerin dallanma faktörü sınırlanmadan büyürken, kendiliğinden kaçınan yürüyüşlerin dallanma faktörünün sınırlandığı bir grafik dizisine sahip olabilir miyiz?

Düzenleme 10/06 : Allan Sly'nin (FOCS 2010) bu makalesi alakalı görünüyor ... sonuç, sonsuz kendi kendine kaçınma yürüyüşleri ağacının dallanma faktörünün saymanın zorlaştığı noktayı tam olarak yakaladığını gösteriyor.

Düzenleme 10/31 : Alan Sokal ( "Çok Değişkenli Tutte Polinomisinin " s.42 sini) varsayımları ( a) max. tüm çiftler s, t). Bu uygun görünmektedir, çünkü uzun vadeli korelasyonlar uygun renklendirme sayısı 0'a yaklaştığında ortaya çıkmaktadır.

Bu, en az altı renk ve daha fazlası için düzlemsel grafikler için zordur. Bkz "düzlemsel grafik Tutte polinom Inapproximability" Goldberg ve Jerrum tarafından

Bazı daha fazla yorum:

Sayma için bir yerel algoritma sayımı, her bir istatistiğin düğümün bir grafik mahallesinin bir fonksiyonu olduğu bir düğüm başına istatistik kümesinden hesaplar. Boyamalar için, bu istatistikler "c ile karşılaşmanın marjinal olasılığı" ile ilgilidir. İşte basit bir grafik için bu indirgemenin bir örneği .

Alan Sly'nin son makalesinde , yerel bir algoritma kullanarak bağımsız kümeleri saymanın herhangi bir algoritmayı kullanarak bağımsız kümeleri saymak kadar zor olduğunu izler . Bunun grafiklere genel sayım için de geçerli olduğuna dair kuşkum var.

Yerel algoritmalar için sertlik, düğümler arasındaki korelasyonun düğümler arasındaki mesafeye göre nasıl davrandığına bağlıdır. Yeterince büyük mesafeler için, bu korelasyonun esasen sadece iki davranışı vardır - ya korelasyon, grafik mesafesinde üssel olarak azalır veya hiç bozulmaz.

Eğer üstel bozulma varsa, yerel istatistikler büyüklüğü grafiğin büyüklüğünde polinom olan bir mahalleye bağlı olduğundan, sayma sorunu kolaydır.

İstatistiksel fizik modellerinde, kendinden kaçınan yürüyüşler, korelasyon bozunması ve faz geçişleri arasında bir bağlantı olduğu belirtildi (yani, de Gennes, Emery). Kendiliğinden kaçınma için üretme fonksiyonunun bir kafes üzerinde yürüdüğü nokta sonsuz olur, modelde uzun menzilli korelasyonların göründüğü sıcaklığa karşılık gelir.

Weitz'in kendiliğinden kaçınan yürüyüş ağacı yapısından görebiliyorsunuz, neden kendiliğinden kaçınan yürüyüşlerin korelasyon çürümesinde ortaya çıktığını - marjinal tam olarak kendiliğinden kaçınan yürüyüşler ağacının kökü olarak gösterilebilir, yani bu ağacın dallanma faktörü ise yeterince küçük, ağacın yaprakları sonunda alakasız hale gelir.

"Yerel sertlik" sertliği ifade ediyorsa, o zaman kendiliğinden kaçınan yürüyüşlerin büyüme oranını belirleyen özellikleri ölçmek yeterlidir. Kesin büyüme hızı, kendiliğinden kaçınan yürüyüşler için üretici fonksiyondan çıkarılabilir, ancak hesaplanamaz. Spektral yarıçapı hesaplanması kolaydır ve daha düşük bir sınır verir.

Bazı yorumlar: cevap yok.

$c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

$c$

Sorunun zor kalmasına izin verecek grafik sınıfının yapısal özelliklerini istiyorsunuz. Söyleyebileceğim kadarıyla, neredeyse her zaman zor olacak. Ancak bu çok kabataslak ve daha fazla çalışmaya ihtiyaç var.