Determinantlar ve Matris Çarpımı - Algoritmik karmaşıklık ve aritmetik devre boyutundaki benzerlik ve farklılıklar

11

Determinantların algoritmik karmaşıklığı ile devre karmaşıklığı ve Matris Çarpımı arasındaki ilişkiyi anlamaya çalışıyorum.

Bir belirleyici olduğu bilinmektedir matris olabilir hesaplanan içinde zaman, en az bir zaman herhangi iki çarpma için gerekli olan matrisini. Determinantların en iyi devre karmaşıklığının derinliğinde polinom olduğu ve üstel olduğu da bilinmektedir. $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$ Ancak herhangi bir sabit derinlik için matris çarpımının devre karmaşıklığı sadece polinomdur.

Bir algoritma perspektifinden determinant hesaplamanın matris çarpımına benzer olduğu bilinirken, determinantlar ve matris çarpımı için devre karmaşıklığında neden bir fark vardır ? Özellikle, devre karmaşıklıklarının derinlik- üstel bir boşluğu var mı? $3$

Muhtemelen, açıklama basit ama görmüyorum. 'Sertlik' ile ilgili bir açıklama var mı?

Ayrıca bakınız: Determinant için bilinen en küçük formül

— T ....
kaynak

3

Çeşitli küçük karmaşıklık sınıfları için devre değeri problemini ve Boole formülü değerlendirmesini düşünün. Onların deterministik ardışık zaman karmaşıklığı bildiğimiz kadarıyla benzerdir, ancak devre karmaşıklığı perspektifinden çok farklıdırlar. Bir modeldeki belirli bir kaynak türündeki benzerlik, diğer modellerdeki diğer kaynaklar için benzerlik anlamına gelmez. Bir sorun, bir diğeri için paralel hesaplamayı istisna edebileceğimiz gibi olabilir, ancak sıralı zaman karmaşıklığı aynı olabilir.

Modeller arasındaki iki sorunun karmaşıklığı ile farklı kaynaklar arasında ne zaman daha sağlam bir ilişki bekleyebiliriz? Bu modellerdeki kaynaklara saygı duyan her iki yönde aralarında güçlü bir azalma olduğunda.

$\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— Kaveh
kaynak

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

1

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

Şimdilik sadece sıralı karmaşıklığa bakıyorum.

— T ....

Yorumunuzu takip edip etmediğimden emin değilim. Yazımın Boole ortamında soruyu cevapladığını düşünüyorum (soru aslında IIRC'de aritmetik devrelerden bahsetmedi). Aritmetik devre ayarı için fazla bir şey bilmiyorum, umarım başkaları soruyu cevaplar.

— Kaveh

2

Aritmetik ayarlardaki boşluğun bize matris çarpımının determinanttan çok daha paralel bir görev olduğunu söylediğini söyleyebilirim. Diğer bir deyişle, her iki sorunun ardışık karmaşıklıkları yakından ilişkili olsa da, paralel karmaşıklıkları birbirine yakın değildir.

$D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— Bruno
kaynak

Bunun "devre karmaşıklıklarının derinlik-3'te üstel bir boşluğu var mı?"

— Bruno

Doğru anlarsam, şunu ima edersiniz: polinom sayıda işlemciye sahip olmak için birinin logaritmik derinliğe ihtiyacı var mı?

— T ....

1

Csanky'nin kullandığı modeli tam olarak hatırlamıyordum. Aslında, bugünlerde sınırlı fan girişi ile aritmetik devreler dediğimiz şeyi düşünüyor . Bu nedenle alt sınır oldukça önemsizdir ve matris çarpımı ile karşılaştırmam uygun değildir.

— Bruno