Bir oyunun dengeli / adil olup olmadığını hesaplamak veya matematiksel olarak kanıtlamak mümkün müdür?

Bu soru video oyunlarına değil, genel olarak oyunlara odaklanmaktadır. Dün oyun tahtası fuarına gittim ve kendime bir oyunun adaletini hesaplamanın bir yolu olup olmadığını sordum. Elbette, bazıları iyi bir şans kısmı gerektirir, ancak bazı karakterlerin aşırı güç olup olmadığını hesaplamak mümkün olabilir. Özellikle rol yapma oyunlarında ve ticari kart oyunlarında. Örneğin, “Magic: The Gathering” in yaratıcıları, etkileyici sayıda mevcut kartlar göz önüne alındığında, “hepsini yenen bir kart” olmadığından nasıl emin olabilirler?

Evet, teorik olarak mümkün - bu , bu konuyla ilgilenen oyun teorisinin iyi bir parçası .

Ancak, sadece nadiren pratiktir ve o zaman bile çoğunlukla sadece randomizatör içermeyen oyunlar için (Satranç, Reversi, Go ve diğerleri). Kombinatoryal patlama , The Magic the Gathering gibi daha karmaşık oyunlar için bu tür provalar için gerekli olan teorik zamanın, evrenin şu andaki yaşından daha uzun süren bir kaç büyüklük derecesinde olmasını sağlar.

Sonunda, önemsiz olmayan herhangi bir oyun için, muhtemelen bir oyunun dengesini veya dürüstlüğünü kanıtlama nosyonundan vazgeçmeniz ve bunun yerine sağduyu, tasarımcı içgüdüleri, oyun sisteminin yeniden kullanımı ve test boyunca bir kombinasyonla devam etmeniz gerekecektir .

Kısa cevap: Sonlu bir oyun, tanımsız olsa bile, mevcut hamle sayısının sınırlı sayıda olası oyunu vardır. Sınırlı bir "oyun ağacı karmaşıklığı" olan herhangi bir oyun, her oyuncunun kazanacağı oyun sayısının eşit olup olmadığını belirlemek için teorik olarak tüm olası oyunların analizini yapabilir.

Basitçe söylemek gerekirse: Oyuncu 1 bir oyunun olası tüm oyunlarının tam yarısını kazanırsa, oyun dengelenir. Bu doğru değilse, oyun bir oyuncuya ya da diğerine karşı önyargılıdır.

Bununla birlikte, bu basit kural uygulamaya koymak için oldukça uygun olabilir. Örneğin, Go, bilinen evrende var olduğu düşünülen atom sayısından daha fazla, mümkün olan 10 ^ 170 oyun sırasına göre bir oyun ağacı karmaşıklığına sahiptir. Kapsamlı bir oyun ağacını derlemenin imkansız olduğu düşünülmektedir. Bununla birlikte, oynanan ve kaydedilen oyunların kütüphanesi milyonlarcadir ve oyunun bir "ilk hamle avantajı" olduğunu gösterir (genellikle Beyaz'a verilen 1,5 puanlık "komi" ile hafifletilir).

Buna karşılık, genel oyun ağacı-karmaşıklıklarına rağmen, tüm M, N, K oyunlarını (M genişliğinde bir ızgara tahtası, N yüksekliğinde, nesnenin bir oyuncunun yerleştirerek bir parça K parçası yaratması ve asla yapmaması) kıpırdatmalar olduğu için onları taşımak / kaldırmak) çözüldü; Oyun ağacının tüm "dalları" her zaman bir oyuncunun veya diğerinin kaybedilmesine neden olarak tanımlanabilir. Kalan dallar, tanımlanabilen bir desen izler. Tic-Tac-Toe açık bir örnektir; Sadece 300.000 kişilik oyun mümkün olmasının yanı sıra, bir oyuncunun veya diğerinin bir sonraki hamlede kazanmasına izin verecek bir hamle yapmadığı sadece 16 var. Bu yüzden, oyun ağacı küçük başlar ve oyuncuların yapması muhtemel oyunları düşündüğünüzde küçülür.

Şans unsuru olan oyunlarda, oyun ağacı karmaşıklığı her oyuncu için verilen karar sayısının ötesinde şişirilir. Oyun artık “mükemmel bilgi” ile oynanmadığından, satrançta, damada, Go, Othello, vb. Olduğu gibi, oyunda bilinen bilgiyi tam olarak vermiş olan bir oyuncunun hala oyunun kaybetmesine izin vermek mümkündür. rastgele eleman Bu oyunların "çözümü" yok; Bununla birlikte, genellikle hala sınırlı bir oyun ağacı vardır ve teorik olarak oyunlar yine de ayrıntılı bir şekilde analiz edilebilir. Bu hala genellikle mümkün değil; bunun yerine, olasılık içeren oyunlar, "en iyi bahis" stratejilerini belirlemek için olasılıkla analiz edilir ve bu stratejilerin, başka bir oyuncunun kullandığı stratejiden (aynı strateji dahil olmak üzere) bağımsız olarak, bunları kullanan oyuncuyu tercih ettiği gösteriliyorsa,

Genel olarak, aşağıdaki kural geçerlidir: Oyunun tasarımı, aşağıdakilerden bir veya daha fazlasında doğal olarak eşitsizliğe yol açarsa, oyunun bir önyargısı vardır:

• Her oyuncu için toplam hamle sayısı
• Herhangi bir zamanda, o oyuncu için en az bir hamle yapabilecek olan hamle sayısı
• Oyuncu güçlerinin başlangıç ​​gücü
• Sınırlı kaynaklara veya belirlenmiş stratejik öneme sahip alanlara erişim

Şimdi, oyunun tasarımı bir eşitsizliği ortaya çıkarabilir ancak bir başkasıyla telafi etmeye çalışabilir. Ya da oyunun tasarımı, önyargı yaratabilecek alanlarda rastlantısallığa izin verebilir, bu da bir oyunun bir diğerinin daha adil olduğu durumlarda oyunun önyargılı olabileceği anlamına gelir (rastgele başlangıç ​​panolarına sahip oyunlar bunu gösterebilir). Bu durumlarda, sadece uzun vadede kabaca eşit güce sahip oyuncular arasındaki oyunların deneysel analizi herhangi bir önyargı gösterebilir.

Tahta oyunlarındaki önyargı hakkında daha fazla tartışma için, http://www.geekdo.com ; Oyunlarda gösterilmiş önyargı ve genel olarak oyun geliştirmede bu önyargının nasıl önlenebileceği konusunda birkaç tartışma yapıldı.

Her oyunun bu kadar farklı ve karmaşık olmasından dolayı bir oyunun ne kadar adil olduğunu değerlendirmek için önceden yapılmış matematiksel bir formül olmadığını tahmin ediyorum.

Farklı oyun parametrelerini gerçekten karşılaştıramaz ve bir karakterin ne kadar iyi olduğu konusunda bir tür güç puanı oluşturamazsınız (oyununuz çok basit olmadığı sürece), çünkü hepsi oyununuzu farklı şekilde etkiler ve nasıl uygulandıklarına bağlıdır (örneğin, nasıl yapabilirsiniz? gücün canlılıkla ne kadar ilişkili olduğunu değerlendirmek? Bir karakterin özel saldırısına nasıl sayısal bir değer verirsiniz?).

Oyununu test etmelisin. Çok fazla . Oyununuzu kendiniz oynayın ve başkalarının oynamasını sağlayın ve savaş yapmak / oyun sonuçlarını bir istatistikte saklamak ve bazı karakterlerin ne sıklıkla kazandıklarını değerlendirmek için bir dosyada saklayın. Ardından, tekrarları kontrol etmek için bir yol uyguladığınızdan emin olun veya böyle bir karakterin neden aşırı güçlendiğini görmek için oyunu analiz edin ve değişiklikleri uygun şekilde uygulayın.

Gerçekten, test etmekten başka seçeneğin yok. Betaların var olmasının sebeplerinden biri de bu (örneğin beta olarak Starcraft2, Blizzard'a oyun sonuçlarını temel alarak 3 yarışı dengeleme imkanı verdi).

Özetle, oyununu oyna ve diğerlerinin oyun oynamasını sağla (bir beta başlatmak bir seçenek). Oyunun neden tekrar oynatma veya otomatik analizle dengesiz olduğunu görün ve buna göre neyin değiştirilmesi gerektiğini değiştirin. Adalete yaklaşmanın tek yolu bu.

Bir oyunun dengeli ya da adil olduğunu kanıtlayabilmek için, önce dengeli ya da adil olanın ne anlama geldiğini tanımlamanız gerekir. Bunlar, bir dizi şeyi kapsayabilecek oldukça belirsiz terimlerdir; örneğin oyun “dengesi” genellikle şu anlama gelir:

• birkaç farklı tarafın her birinin kazanma şansı aynı
• Oyun boyunca ilerleme sürekli daha zorlaşıyor
• Oyun içinde verilen kararlar bazı / çoğu / tüm durumlarda aynı maliyet / kazanç oranlarını sunar

Ve bunun gibi.

Genel olarak, matematiksel olarak bunun gibi şeyleri ispat etmenin bir hayranıyım, ancak mantığı ya da test ederek herhangi bir şeyi kanıtlamak için önce onu açıkça tanımlamanız gerekir. Oyun kurallarınızı doğru bir şekilde anlayabiliyorsanız, dengenin bazı yönlerini matematikte test etmeniz kolaydır. Diğerleri sadece deneysel testler yapmadan yargılamak için çok daha zor. Asıl sorun, oyun tasarımcılarının çoğu, oyun kurallarını çevreleyen bir simülasyonla birleştirmeye son verdikleri için oyunun mekaniğini gerçekten anlamıyorlar ve ikincisi de doğru modellemesi çok zor.

Teorik olarak mümkündür, ancak çoğu oyun için imkansız olduğu düşünüldüğünde son derece zordur.

Bir yaklaşım: Oyunu normal forma dönüştürün. Normal formdaki oyun, her bir oyuncu için strateji kümesidir ve verilen seçimler kombinasyonunda ne kadar iyi sonuç olduğunu söyleyen işlevdir. Rastgele faktör başka bir oyuncu olarak modellenebilir.

O zaman baskın / baskın stratejiler arayabiliriz (HER ZAMAN yapılacak şeyler ve ASLA yapmamalı şeyler). Baskın stratejiler içermiyorsa, oyun bir şekilde ilginçtir.

O zaman her oyuncunun kendisi için neyi garanti edebileceğini görebiliriz. "MY" seçiminin her biri için mümkün olan en kötü sonuca bakın ve bu en iyi olanı seçin.

Oyuncular arasında çok farklı olursa, oyunda çürümüş bir şey var.

Bakılması gereken başka şeyler var (baskın karma strateji (bazı olasılıklarla her seçimi seçme)), nash dengeleri (tüm oyuncular diğerlerinin yapabileceğini bildiğinde, herkes için en iyisi yerel olan kombinasyonlar).

Ancak ilk adım çoğu oyun için oldukça karmaşıktır, bu yüzden normalde pek kullanışlı değildir. Ancak, karmaşık ayrıntıları ortadan kaldırabilir / stratejileri tanınabilir stratejiler kümesiyle (örneğin, ilk inşa emirleri) uzaklaştırabilir ve gerçek olarak oynanan oyunlardan bazı istatistiksel yaklaşımlarla sonuçlandırabilir ve oyundaki problemler hakkında size bir şeyler anlatabilirsiniz. Sanırım bu sihirbaz gibi bir şey SC ile yapıyor.

Oyunun diğer bir şekli, oyuncuların sırayla girip başkalarının yaptığı her şeyi bildiği oyun (satranç). Orada oyun devlet ağacını arayarak dominat stratejisini aramayı deneyebilirsiniz (ve genel olarak BÜYÜK, bu yüzden tekrar kullanmak çok karmaşık). Ve pek çok oyun tam olarak farkında değil ve işleri çok zorlaştırıyor.

Başka bir yaklaşım, oyundaki şeylere bakın ve bunları karşılaştırmaya çalışın.

Başka bir yaklaşım: Takım mücadelesi için (özellikle büyük miktardaki katılımcılarla) kuvvet kuvvet simülasyonu kullanmaya çalışabilirsiniz (hiç kullanmadım ve yüksek matematik (farklı denklemler) ve oyunu aproprit modeline dönüştürmek için sıkı çalışma gerektiriyor).

Sonuç olarak, oyunun alt sistemlerini dengelemek için birçok şey yapılabilir ve oyun bittiğinde (ve en son test sırasında), sonuçları analiz ederek çok şey yapılabilir, ancak her şeyi aynı yapmazsanız, oyunun dengelenmesi neredeyse imkansızdır. .

Not: İlk niteliği hesaplamak için kullanılabilecek bir özelliği birden fazla ile değiştirerek ve her şeyi çok daha rastgele hale getirerek aynılığı gizleyebilirsiniz, böylece oyuncular bu aynılığı görmezler (

Bunu yaparken hata yapmanın kolay olmamasına dikkat edin (örneğin, hızlı küçük saldırılar - büyük ağır saldırılar) 0-90 sonuç verir ancak hepsinde farklı dağılım vardır.

PS2: Bir bilge adam, gerçek dengenin önemli olmadığını söyledi, Algılanan denge.

Matematiksel olarak doğru bir cevap alma ile ilgili birçok iyi cevap var, ancak farklı bir açı deneyeceğim: eğer kodunuz buna izin veriyorsa, çok sayıda oyunu simüle edebilir ve daha sonra bir strateji (veya strateji) olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. çok sık kazanın.

Monte-Carlo simülasyonlarına veya genetik algoritmalara aşina olabilirsiniz. Buradaki fikir ilişkili. Oyunu oynamak ve bazı önemli ölçümleri yapmak için bir AI'ya ihtiyacınız var. AI'nın büyük bir turnuvada birbirlerine, genellikle yeterli, farklı başlangıç ​​değişkenleriyle gitmesine izin verin ve sonuçları ölçün.

Her zaman böyle bir yaklaşımı denemek istemişimdir, sınıfları / silahları dengelemek, eğlenceli bir ton olurdu.

Bir hesaplama perspektifi teorisinden, buna cevap vermek genel olarak mümkün değildir . Bir programın özelliği hakkında bir soru soruyor ve Rice Teoremi geçerli olabilir. Benim varsayım, oyunun c ++ gibi bir Turing Complete dilinde yazılmış bir programı ifade ettiğidir . Ayrıca, bir oyunun adil olup olmadığını hesaplamak veya kanıtlamak için c ++ programını (oyun programı) okuyan ve sadece iki çıktıyla, tüm olası girişler için sınırlı bir süre içinde sona eren bir c ++ programının mevcut olduğunu kabul ediyorum . veya haksızlık.

Hızlı bir arama belirleyici ancak kararsız bir oyuna sahip olmanın mümkün olduğunu gösteriyor, burada 7. slayttan ve Uluslararası Oyun Teorisi Dergisi'nden: Kararsız bazı kararlı oyunlardan:

"Algoritmalar kullanan bilgisayar makineleri oyun oynar ve hatta oyun oynamayı da öğrenir. Ancak, algoritmaların doğasında var olan nitelikleri, makinelerin oyun oynama yeteneklerine sınırlamalar getirir. M. Rabin, 1957'de iki kişilik bir kazan-kaybet oyunu inşa ederek bu sınırlamayı göstermiştir. karar verilebilir kurallara sahip ancak hesaplanabilir kazanma stratejileri yok. "

İnsan beyni görünüşe göre bilgisayarlardan daha "güçlü" çünkü geçmiş bilgiyi kazanıp uygulayabiliyoruz ve bazen programlarda sonsuz döngüler bularak Halting problemi gibi sonuçlarla çelişiyor gibi gözüküyor . Fakat bunu nasıl yaptığımız iyi bilinmemektedir ve bir algoritmada kesin ve net bir şekilde yazılamaz.

Martin Sojka'nın cevabı hakkında gerçekten yorum yapmak istedim, ancak itibarım yok. Oyun Teorisinin bir oyunun adilliğini hesaplamayı içerdiği konusunda doğrudur (örneğin, beyaz ve siyahın beraberlik yapıp yapmamasının mükemmel bir şekilde oynandığı bir satranç oyununda ise açık bir soru).

MTG için, adil olup olmadığını hesaplamak tamamen mümkün olmayabilir, ancak hiç kimse matematiksel olarak hesaplamanın olanaksız olacağını ispatlayamadı.

Adil olduğunu ispatlamak önemsiz bir şey olabilir - eğer önce kim gelirse, herkes aynı kurallara göre oynarsa, o zaman adil olur. İlk kim gelirse her zaman kazanır olabilir, ama ilk kim gelirse adil bir şekilde karar verilirse o zaman oyun dürüst olur.

"Adil" ile kastedilen, belirsizdir, açıklayayım:

Rock-paper-cissors oyununu göz önünde bulundurun (http://en.wikipedia.org/wiki/Rock-paper-scissors): Size göre adil, sanırım (bana göre).

Şimdi, oyunu düşünelim: Kaya-kâğıt-makas-kuyusu, kuyu kayayı ve kağıdı dövdüğünde ve kuyu kağıda karşı kaybederse. Dengesiz değil mi? Kuyu oldukça güçlenmiş gibi görünüyor: iki silahı dövüyor ve birine karşı kaybediyor.

Ancak kişi bunun aşırı güçlenmediğini söyleyebilir: çünkü rakibinizin kuyuyu kullanması daha muhtemeldir, çünkü iki silahı atarsa, kağıdı daha sık seçerek hareket edebilirsiniz.

Bu yüzden potansiyelin çok iyi beslendiğinin iyi bir cevabı var: sadece kağıdı daha sık seçin. Ama sonra rakibinizin bunu bildiğini ve kağıdı çok sık kullanabileceğini biliyorsunuz, bu yüzden makası daha sık kullanmanız gerektiğini düşünüyorsunuz. Vb gerçekten güçsüz değil, sadece farklı kuralları olan farklı bir oyun.

Oyun teorisi ve özellikle kusurlu bilgileri içeren oyunları okumanızı tavsiye ederim (http://en.wikipedia.org/wiki/Game_theory).