-Sağ taraf sadece içindeyken sonlu elemanlar yönteminin yakınsaması

Parçalı doğrusal sonlu elemanlar yaklaşımının $u_h$ nın-nin

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$ tatmin

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$ ancak şu şartla ki , yeterince pürüzsüz ve .

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

Soru: Eğer , biz bir türevinin her iki tarafta uzak alındığı aşağıdaki analog tahmin, var: $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

Referans verebilir misiniz?

Düşünceler: hala , yakınsama elde etmek mümkün olmalıdır . Sezgisel olarak, bu parçalı sabit işlevlerle bile mümkün olmalıdır. $u\in H^1_0(U)$ $L^2(U)$

— Bananach
kaynak

Ben için bile standart Nitsche hile aldığını düşünüyorum . Bunu örneğin Braess - Sonlu elemanlarda bulabilirsiniz.

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$

u \in H^{1}

$u \in H^1$

— knl

Evet , bu standart Aubin-Nitsche (veya dualite ) hilesi. Fikir, normunu bir operatör normu olarak yazmak için kendi ikili alanı olduğu gerçeğini kullanmaktır Bu nedenle keyfi için tahmin etmek zorundayız . Biz "asansör" Bunu yapmak için için ilk keyfi için dikkate alarak solüsyon ikili sorunun $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ Poisson denkleminin standart düzenliliğini kullanarak, olduğunu biliyoruz

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

içine ekleme ve herhangi bir sonlu eleman için (sizin durumunuzda parçalı doğrusal) fonksiyon , Bu, tüm için geçerli olduğundan, tüm parçalı doğrusal en üst eşitsizlik hala doğrudur . Bu nedenle $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Bu Aubin-Nitsche-Lemma .

Bir sonraki adım, Poisson denklemine çözümlerin en iyi sonlu eleman yaklaşımı için standart hata tahminlerini kullanmaktır. Yana sadece içindedir , biz daha iyi bir tahmin almak yok Ancak neyse ki, yerine sağ tarafından beri daha yüksek bir düzenliliğe sahip olabilir . Bu durumda, takma ve içine $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ artık istenen tahmini vermektedir.

(Standart tahminlerin sonlu elemanlar yaklaşımının polinom derecesi ve gerçek çözümün Sobolev üssü karşılamasını gerektirdiğini unutmayın , bu nedenle bu argüman parçalı sabit ( ) yaklaşım için çalışmaz . Ayrıca, kullandık - yani, uyumlu bir yaklaşımımız var - bu parçalı sabitler için doğru değil.) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

Bir referans istediğinizden: Teorem 5.8.3'te (Teorem 5.4.8 ile birlikte) bir ifade ( yerine negatif Sobolev boşlukları için bile ) bulabilirsiniz. $H^{-s}$ $L^2$

Susanne C Brenner ve L. Ridgway Scott , MR 2373954 sonlu eleman yöntemleri matematik teorisi , Applied Mathematics Metinler ISBN: 978-0-387-75933-3.

— Hıristiyan Sınıfı
kaynak

Ve parlak yeni alıntı özelliğimden

— faydalanıyorum

Cevabınız için teşekkürler, ancak sürekli işlevler içine gömülü değil mi?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— Bananach

Evet, üzgünüm, orada okşadım - yoğunlar, ama gömülü değiller. Dualite argümanı aynı şekilde çalışır (sadece doğrudan ve ile çalışın ). Cevabımı buna göre düzenleyeceğim.

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— Christian Clason

Kapsamlı güncelleme için teşekkürler. Ve başka bir parlak alıntı bulmak için

— Bananach

@Praveen Burada herhangi bir teoriye ihtiyacınız olduğunu düşünmüyorum. Sabit sıfır olmak için seçin .

v_{h}

$v_h$

— Bananach