Olasılıkta bir sabite yakınsama simülasyonu

Asimptotik sonuçlar bilgisayar simülasyonu ile kanıtlanamaz çünkü sonsuzluk kavramını içeren ifadelerdir. Ancak, şeylerin teorinin bize söylediği şekilde yürüdüğünü anlayabilmeliyiz.

Teorik sonucu düşünün

lim_{n \to \infty} P (| X_{n} | > ε) = 0, ε > 0

$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n|>\epsilon) = 0, \qquad \epsilon >0$

burada $X_n$ , aynı ve bağımsız olarak dağılmış $n$ rasgele değişkenin bir fonksiyonudur . Bu, $X_n$ sıfıra yaklaştığını söylüyor . Sanırım burada arketip örnek olduğu $X_n$ , iidrv en numunenin ortak beklenen değer örnek ortalama eksi

X_{n} = \frac{1}{n} Σ_{ben = 1}^{n} Y_{ben} - E [Y_{1}]

$X_n = \frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - E[Y_1]$

SORU: Yukarıdaki ilişkinin zorunlu olarak sonlu örneklerden bilgisayar simülasyon sonuçlarını kullanarak "gerçek dünyada gerçekleştiğini" ikna edici bir şekilde nasıl gösterebiliriz?

Lütfen özellikle bir sabite yakınsama seçtiğimi unutmayın .

Aşağıda yaklaşımımı cevap olarak sağlarım ve daha iyisini umarım.

GÜNCELLEME: Kafamın arkasındaki bir şey beni rahatsız etti - ve ne olduğunu öğrendim. Cevaplardan birine yapılan yorumlarda en ilginç tartışmanın yaşandığı eski bir soruyu araştırdım . Burada @Cardinal, tutarlı olduğunu ancak varyansının sıfırdan farklı ve asimptotik olarak sonlu kaldığına dair bir tahminci örneği verdi. Öyleyse sorumun daha zorlu bir varyasyonu haline gelir: simülasyonla, bu istatistik sıfırdan ve sonlu varyansı asimptotik olarak koruduğunda, bir istatistiğin olasılıkla sabit hale geldiğini nasıl gösteririz?

— Alecos Papadopoulos
kaynak

@Glen_b Sizden geliyor, bu rozetin karşılığı. Teşekkürler.

— Alecos Papadopoulos

Bunu arada sırada düşünüyorum ve ortaya koyduğum tek şey 'ortalamaya odaklanma' argümanı; Umarım buradaki bazı zeki insanlar ilginç şeyler yazmak için zaman bulur! (+1 elbette!)

— ekvall

'yi bir dağıtım fonksiyonu (belirli bir durumda tamamlayıcı olan olarak düşünüyorum . Teorik sonucun bize söylediği gibi bir şey olduğunu göstermek için bilgisayar simülasyonu kullanmak istediğim için,veya ampirik göreceli frekans dağılımı ve sonra bir şekilde arttıkça "daha fazla" sıfıra konsantre edin. $P()$ $|X_n|$ $n$ $|X_n|$

Ampirik göreceli frekans işlevi elde etmek için, boyut olarak artan (çok) birden fazla örneğe ihtiyacım var, çünkü örnek boyutu arttıkça,Her bir farklı için değişir . $|X_n|$ $n$

Bu yüzden 'nin dağılımından , "paralel olarak" örnekleri , binlerce arasında değişiyor, her bir başlangıç boyutunda , her biri on binlerce arasında değişen . Sonra değerini hesaplamak gerekir her bir örnekten (ve aynı ), yani değer kümesini edinin . $Y_i$ $m$ $m$ $n$ $n$ $|X_n|$ $n$ $\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$

Bu değerler, ampirik bir nispi frekans dağılımı oluşturmak için kullanılabilir. Teorik sonuca , ben "sıfıra "çok yakın" olacak -ama tabii ki, hepsi değil. $|X_n|$

Yani göstermek içinGerçekten daha büyük ve daha büyük sayılarda sıfıra doğru yürüdüğümde, demek için örnek boyutunu artırarak işlemi tekrarlamam ve şimdi sıfıra konsantrasyonun "arttığını" göstermeliyim. Açıkçası, arttığını göstermek için, için ampirik bir değer belirtilmelidir . $|X_n|$ $2n$ $\epsilon$

Bu yeterli olur mu? Bu "konsantrasyondaki artışı" bir şekilde resmileştirebilir miyiz? Bu prosedür, daha fazla "örnek boyutu artışı" adımlarında gerçekleştiriliyorsa ve diğeri daha yakınsa, bize gerçek yakınsama hızı hakkında bir tahmin sağlayabilir , yani "ampirik olasılık kütlesi" her adım "bin, örneğin? $n$

Ya da, olasılığın% aşağıda olduğu eşik değerini inceleyin ve bu değerinin büyüklüğü nasıl azaldığını görün? $90$ $\epsilon$

BİR ÖRNEK

Düşünün 'olması s ve bu yüzden $Y_i$ $U(0,1)$

| X_{n} | = | \frac{1}{n} Σ_{ben = 1}^{n} Y_{ben} - \frac{1}{2} |

$|X_n| = \left|\frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - \frac 12\right|$

İlk önce her biri büyüklüğünde numune üretiyoruz . ın ampirik bağıl frekans dağılımı benziyor $m=1,000$ $n=10,000$ $|X_{10,000}|$ resim açıklamasını buraya girin

ve biz dikkat değerleri% daha . $90.10$ $|X_{10,000}|$ $0.0046155$

Sonra numune boyutunu yükseltirim . Şimdigibi görünüyor biz dikkat ve değerleri%altındadır . Alternatif olarak, şimdi değerlerin% altına düşer . $n=20,000$ $|X_{20,000}|$ resim açıklamasını buraya girin $91.80$ $|X_{20,000}|$ $0.0037101$ $98.00$ $0.0045217$

Böyle bir gösteri ile ikna olur musunuz?

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Hayır, sunulan her şey olsaydı, böyle bir gösteriyle ikna olmazdım . İddia edilen sonuç ile sıfır olmayan bir dağılımdan çok az miktarda kontaminasyonun olduğu sonuç arasında ayrım yapamaz. Gerçekten ikna edici olabilecek herhangi bir bilgisayar simülasyonuna, bu fenomeni dışlayan mantık eşlik etmelidir. (Kısa bir süre önce, örneklem büyüklüğüne ulaşan bir dizi simülasyon gerçekleştirdim

10^{1000}

$10^{1000}$ - bu bir yazım hatası değil - ama çok müstehcen olmalarına rağmen sonuçlardan hala ikna olmamıştı!)

— whuber

@whuber Yazdıklarınız çok ilginç geliyor. Bahsettiğiniz bu simülasyonlar, tahmini ve sonra ek yapay verilerin dağıtıldığı dağıtımlardan bazı ilk gerçek verilere dayanıyor muydu? Yoksa en başından beri yapay mıydı? Gizlilik bir sorun değilse ve zaman elverirse, kişisel olarak bu simülasyonların nasıl evrimleştiğine ve şüphenin neden kaldığına dair bir fikir veren bir cevap görmek isterim.

— Alecos Papadopoulos

Yapay verilerdi. Bu simülasyonları, stats.stackexchange.com/questions/104875/… adresindeki bir yorumu desteklemek için gerçekleştirdim . Böyle büyük bir simülasyonun nasıl yapılabileceğini hemen göreceksiniz:

N

$N$ Bernoulli'den

(1 / 2)

$(1/2)$ bir Binom'dan tek bir değer çizdiğinizde

(N, 1 / 2)

$(N,1/2)$ dağılımı. Ne zaman

N

$N$ yeterince büyükse, Normal'den bir değer de çizebilirsiniz.

(N / 2, \sqrt{N} / 2)

$(N/2, \sqrt{N}/2)$ dağılımı. Ana hile bunu

1000

$1000$ basamak hassasiyeti :-).

— whuber

@Whuber Teşekkürler, üzerinde çalışacağım. Bu arada, bahsettiğiniz soru, buradaki cevap ve yorumlarınız, beni hem örnek olmayan varyansın normal olmayan örneklerden asimptotik dağılımını hem de Slutsky teoreminin şu şekilde uygulanabilirliğini daha derinlemesine araştırmamı sağladı. cevapta kullanılır. Umarım sonunda paylaşmak için bazı sonuçlar elde edeceğim.

— Alecos Papadopoulos