Olasılıkta yakınsama ile ilgili

12

Let rastgele değişkenler st bir dizisi olasılık, içinde sabit bir sabittir. Aşağıdakileri göstermeye çalışıyorum: ve olasılıkla. Mantığımın sağlam olup olmadığını görmek için buradayım. İşte benim işim $\{X_n\}_{n\geq 1}$ $X_n \to a$ $a>0$

\sqrt{X_{n}} \to \sqrt{a}

$\sqrt{X_n} \to \sqrt{a}$

\frac{a}{X_{n}} \to 1

$\frac{a}{X_n}\to 1$

GİRİŞİM

İlk bölüm için Bildirimi o Bundan sonra
$| \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | < ϵ ⟸ | X_{n} - a | < ϵ | \sqrt{X_{n}} + \sqrt{a} | = ϵ | (\sqrt{X_{n}} - s q r t a) + 2 \sqrt{a} |$ $|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}|$ $\leq ϵ | \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | + 2 ϵ \sqrt{a} < ϵ^{2} + 2 ϵ \sqrt{a}$ $\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}$ $ϵ^{2} + 2 ϵ \sqrt{a} > ϵ \sqrt{a}$ $\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a}$ $P (| \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | \leq ϵ) \geq P (| X_{n} - a | \leq ϵ \sqrt{a}) \to 1 a s n \to \infty$ $P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty$ $⟹ \sqrt{X_{n}} \to \sqrt{a} i n p r o b a b i l i t y$ $\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability$
İkinci bölüm için Şimdi, çünkü olarak , biz buna sahip sınırlı bir dizisidir. Başka bir deyişle, gerçek bir sayı st . Böylece, Olasılığa baktığımızda
$| \frac{a}{X_{n}} - 1 | = | \frac{X_{n} - a}{X_{n}} | < ϵ ⟸ | X_{n} - a | < ϵ | X_{n} |$ $|\frac{a}{X_n}-1|=|\frac{X_n-a}{X_n}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|X_n|$ $X_n \to a$ $n \to \infty$ $X_n$ $M<\infty$ $|X_n|\leq M$ $| X_{n} - a | < ϵ | X_{n} | ⟸ | X_{n} - a | < ϵ M$ $|X_n-a|<\epsilon|X_n|\impliedby |X_n-a|<\epsilon M$ $P (| \frac{a}{X_{n}} - 1 | > ϵ) = P (| X_{n} - a | > ϵ | X_{n} |) \leq P (| X_{n} - a | > ϵ M) \to 0 a s n \to \infty$ $P(|\frac{a}{X_n}-1|>\epsilon)=P(|X_n-a|>\epsilon|X_n|)\leq P(|X_n-a|>\epsilon M)\to 0 \;\;as\;n\to\infty$

Birincisinde oldukça eminim, ama ikincisinde oldukça havalıyım. Mantık sesim miydi?

— Savage Henry
kaynak

6

Dizisi düşünün burada ve . Bana öyle geliyor ki beri bu sekans olasılıkla birleşiyor , ancak olduğu için açıkça sınırsız .

X_{n}

$X_n$

Pr (X_{n} = a) = 1 - 1 / n

$\Pr(X_n=a)=1-1/n$

Pr (X_{n} = n) = 1 / n

$\Pr(X_n=n)=1/n$

1 - 1 / n \to 1

$1-1/n\to 1$

a

$a$

sup (X_{n}) = max (a, n) \to \infty

$\sup(X_n)=\max(a,n)\to\infty$

— whuber

2

Sürekli haritalama teoremi?

— Christoph Hanck

13

Kanıtların ayrıntıları, uygun sezgi ve teknikleri geliştirmekten daha az önemlidir. Bu cevap, buna yardımcı olmak için tasarlanmış bir yaklaşıma odaklanmaktadır. Üç adımdan oluşur: varsayım ve tanımların getirildiği bir "düzen"; varsayımların bir şekilde kanıtlanması gerekenlerle ilişkili olduğu "beden" (veya "önemli bir adım") ve kanıtın tamamlandığı "beyan". Olasılık kanıtı olan birçok durumda olduğu gibi, buradaki önemli adım , çok daha karmaşık rastgele değişkenlerle uğraşmaktan ziyade sayılarla (rastgele değişkenlerin olası değerleri) çalışmaktır.

Bir rastgele değişken dizisinin sabit olasılığa yakınsaması , hangi mahallesini seçerseniz seçin, sonunda her bu mahallede keyfi olarak yakın bir olasılıkla yattığı anlamına gelir . ("Nihayetinde" ve "keyfi olarak kapandığınızı" biçimsel matematiğe nasıl çevireceğimizi heceleyemeyeceğim - bu gönderiyle ilgilenen herkes bunu zaten biliyor.) $Y_n$ $a$ $0$ $Y_n-a$ $1$

Bir mahalle olduğunu hatırlayın olan bir açık kümesini içeren gerçek sayılar herhangi kümesidir üyesidir. $0$ $0$

Kurulum rutindir. dizisini düşünün ve herhangi bir mahallesi olsun . Amaç, sonunda da keyfi olarak yüksek bir şansa sahip olacağını göstermektir . Yana bir mahalle, olması gereken bir olan açık aralık . i sağlamak için gerekirse daraltabiliriz . Bu, sonraki manipülasyonların meşru ve kullanışlı olmasını sağlayacaktır. $Y_n = a/X_n$ $\mathcal{O}$ $0$ $Y_n-1$ $\mathcal{O}$ $\mathcal{O}$ $\epsilon \gt 0$ $(-\epsilon, \epsilon)\subset \mathcal{O}$ $\epsilon$ $\epsilon \lt 1$

Önemli adım bağlamak olacaktır ile . Bu hiç rastgele değişken bilgisi gerektirmez. Sayısal eşitsizliklerin cebir (varsayımını istismar ) bize söyler kümesi numaraları , herhangi bir , tüm grubu ile bire-bir ilişki içinde olan $Y_n$ $X_n$ $a\gt 0$ $\{Y_n(\omega)\,|\, Y_n(\omega) - 1 \in (-\epsilon, \epsilon)\}$ $\epsilon \gt 0$ $X_n(\omega)$

\frac{a}{1 + ϵ} < X_{n} (ω) < \frac{a}{1 - ϵ} .

$\frac{a}{1+\epsilon} \lt X_n(\omega) \lt \frac{a}{1-\epsilon}.$

eşdeğer,

X_{n} (ω) - a \in (- \frac{a ϵ}{1 + ϵ}, \frac{a ϵ}{1 - ϵ}) = U .

$X_n(\omega)-a \in \left(-\frac{a\epsilon}{1+\epsilon}, \frac{a\epsilon}{1-\epsilon}\right) = \mathcal{U}.$

Bu yana , sağ taraftaki gerçekten bir mahalle . (Bu, olduğunda neyin bozulduğunu açıkça gösterir .) $a\ne 0$ $\mathcal{U}$ $0$ $a=0$

Sizin için hazırız.

Çünkü in bir olasılıkla, her keyfi olarak yüksek olasılıkla içinde olacağını biliyoruz . , sonunda içinde keyfi olarak yüksek olasılıkla QED içinde yer alacaktır . $X_n \to a$ $X_n-a$ $\mathcal{U}$ $Y_n-1$ $(-\epsilon,\epsilon) \subset \mathcal{O}$

— whuber
kaynak

Bu kadar geç bir cevap için özür dilerim. Yoğun bir hafta oldu. Bunun için çok teşekkür ederim !!!

— Savage Henry

5

Bize

lim_{n \to \infty} P (| X_{n} - α | > ϵ) = 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P(|X_n-\alpha| > \epsilon) = 0$

ve bunu göstermek istiyoruz

lim_{n \to \infty} P (| \frac{α}{X_{n}} - 1 | > ϵ) = 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|\frac {\alpha}{X_n}-1\right| > \epsilon\right) = 0$

Bizde var

| \frac{α}{X_{n}} - 1 | = | \frac{1}{X_{n}} (α - X_{n}) | = | \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α |

$\left|\frac {\alpha}{X_n}-1\right| = \left|\frac {1}{X_n}(\alpha-X_n)\right| = \left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right|$

Eşdeğer olarak, olasılık sınırını inceliyoruz

lim_{n \to \infty} P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ) = ? 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon\right) = \;?\;0$

Olasılığı birbirini dışlayan iki ortak olasılığa bölebiliriz

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ) = P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1) + P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | < 1)

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon\right) =\\ P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \right) + P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| < 1 \right)$

İlk element için bir dizi eşitsizlik var

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1) \leq P [| X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1] \leq P [| X_{n} - α | > ϵ]

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \right) \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \big] \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon \big]$

İlk eşitsizlik,birlikten daha yüksek olduğu için karşılıklılığı birlikten daha küçüktür. İkinci eşitsizlik, çünkü bir dizi olayın ortak olasılığı, bu olayların bir alt kümesinin olasılığından daha büyük olamaz. En sağdaki terimin sınırı sıfırdır (bu öncültür), bu nedenle en soldaki terimin sınırı da sıfırdır. Bizi ilgilendiren olasılığın ilk unsuru sıfırdır. $|X_n|$

İkinci element için

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | < 1) = P (| X_{n} - α | > ϵ | X_{n} |, | X_{n} | < 1)

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| < 1 \right) = P\left(\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon|X_n|,|X_n| < 1 \right)$

Define. Buradan berisınırlıdır, isteğe bağlı olarak küçük veya büyük yapılabilir ve bu nedenle epsilon'a eşdeğerdir . Yani eşitsizliğe sahibiz $\delta \equiv \epsilon\cdot \max |X_n|$ $|X_n|$ $\delta$ $\epsilon$

P [| X_{n} - α | > δ, | X_{n} | < 1] \leq P [| X_{n} - α | > δ]

Yine, sağ taraftaki sınır öncülümüz tarafından sıfırdır, bu nedenle sol taraftaki sınır da sıfırdır. Dolayısıyla bizi ilgilendiren olasılığın ikinci unsuru da sıfırdır. QED.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

5

İlk bölüm için alın ve herhangi Dolayısıyla, , tanımlama , elimizdeki zaman , ima bu . $x,a,\epsilon>0$

\begin{aligned} | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq ϵ & \Rightarrow | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq ϵ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \Rightarrow | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq \frac{ϵ \sqrt{a}}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} \\ \Rightarrow | (\sqrt{x} - \sqrt{a}) (\sqrt{x} + \sqrt{a}) | \geq ϵ \sqrt{a} \Rightarrow | x - a | \geq ϵ \sqrt{a} . \end{aligned}

$\begin{align} |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\epsilon &\Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\epsilon \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\frac{\epsilon\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \\ &\Rightarrow |(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})|\geq\epsilon\sqrt{a}\Rightarrow |x-a|\geq\epsilon\sqrt{a}. \end{align}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

δ = ϵ \sqrt{a}

$\delta=\epsilon\sqrt{a}$

Pr (| \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | \geq ϵ) \leq Pr (| X_{n} - a | \geq δ) \to 0,

$\Pr(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\geq\epsilon)\leq\Pr(|X_n-a|\geq\delta)\to 0,$

n \to \infty

$n\to\infty$

\sqrt{X_{n}} \overset{Pr}{\to} \sqrt{a}

$\sqrt{X_n}\stackrel{\Pr}\to\sqrt{a}$

İkinci bölüm için tekrar ve Hubber'ın cevabından hile yapın (bu, tanımlamak için temel adımdır ;-) Şimdi, olumlu çelişki bu ifadenin olduğu $x,a,\epsilon>0$

δ = min {\frac{a ϵ}{1 + ϵ}, \frac{a ϵ}{1 - ϵ}} .

$\delta = \min\left\{ \frac{a\epsilon}{1+\epsilon},\frac{a\epsilon}{1-\epsilon}\right\}.$

\begin{aligned} | x - a | < δ & \Rightarrow a - δ < x < a + δ \Rightarrow a - \frac{a ϵ}{1 + ϵ} < x < a + \frac{a ϵ}{1 - ϵ} \\ \Rightarrow \frac{a}{1 + ϵ} < x < \frac{a}{1 - ϵ} \Rightarrow 1 - ϵ < \frac{a}{x} < 1 + ϵ \Rightarrow | \frac{a}{x} - 1 | < ϵ . \end{aligned}

$\begin{align} |x-a|<\delta &\Rightarrow a-\delta<x<a+\delta \Rightarrow a - \frac{a\epsilon}{1+\epsilon} < x < a + \frac{a\epsilon}{1-\epsilon} \\ &\Rightarrow \frac{a}{1+\epsilon} < x < \frac{a}{1-\epsilon} \Rightarrow 1-\epsilon<\frac{a}{x}<1+\epsilon \Rightarrow \left| \frac{a}{x}-1\right|<\epsilon. \end{align}$

| \frac{a}{x} - 1 | \geq ϵ \Rightarrow | x - a | \geq δ .

$\left| \frac{a}{x}-1\right|\geq\epsilon \Rightarrow |x-a|\geq\delta.$

Bu nedenle zaman , ima bu .

Pr (| \frac{a}{X_{n}} - 1 | \geq ϵ) \leq Pr (| X_{n} - a | \geq δ) \to 0,

$\Pr\!\left(\left|\frac{a}{X_n}-1\right|\geq\epsilon\right)\leq\Pr(|X_n-a|\geq\delta)\to 0,$

n \to \infty

$n\to\infty$

\frac{a}{X_{n}} \overset{Pr}{\to} 1

$\frac{a}{X_n}\stackrel{\Pr}\to 1$

Not: her iki öğe de daha genel bir sonucun sonuçlarıdır. Her şeyden önce bu Lemma'yı hatırlayın: ve yalnızca herhangi bir varsa öyle ki olduğunda hemen hemen emin olun . Aynı zamanda, bu gerçek Analizden hatırlamak bir sınır noktasında süreklidir arasında ve her dizisi için, yalnızca, eğer içinde burada geçerli ima . Dolayısıyla, eğer $X_n\stackrel{\Pr}{\to}X$ $\{n_i\}\subset\mathbb{N}$ $\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$ $X_{n_{i_j}}\to X$ $j\to\infty$ $g:A\to\mathbb{R}$ $x$ $A$ $\{x_n\}$ $A$ $x_n\to x$ $g(x_n)\to g(x)$ $g$ sürekli ve neredeyse eminim, sonra ve neredeyse kesin olarak izlediğini gösterir . Dahası, sürekli ve , eğer herhangi bir , o zaman Lemma'yı kullanarak bir vardır öyle ki olduğunda kesinlikle emin olun . Ama sonra, gördüğümüz gibi, olduğunda $X_n\to X$

Pr (lim_{n \to \infty} g (X_{n}) = g (X)) \geq Pr (lim_{x \to \infty} X_{n} = X) = 1,

$\Pr\!\left(\lim_{n\to\infty}g(X_n)=g(X)\right)\geq\Pr\!\left(\lim_{x\to\infty}X_n=X\right)=1,$

g (X_{n}) \to g (X)

$g(X_n)\to g(X)$

g

$g$

X_{n} \overset{Pr}{\to} X

$X_n\stackrel{\Pr}{\to}X$

{n_{i}} \subset N

$\{n_i\}\subset\mathbb{N}$

{n_{i_{j}}} \subset {n_{i}}

$\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$

X_{n_{i_{j}}} \to X

$X_{n_{i_j}}\to X$

j \to \infty

$j\to\infty$

g (X_{n_{i_{j}}}) \to g (X)

$g(X_{n_{i_j}})\to g(X)$

j \to \infty

$j\to\infty$ . Bu argüman , Lemma'yı diğer yönde kullanarak olduğundan, sonucuna varıyoruz . Bu nedenle, sorunuzu cevaplamak için için ve sürekli işlevlerini tanımlayabilir ve bu sonucu uygulayabilirsiniz.

{n_{i}} \subset N

$\{n_i\}\subset\mathbb{N}$

g (X_{n}) \overset{Pr}{\to} g (X)

$g(X_n)\stackrel{\Pr}{\to}g(X)$

g (x) = \sqrt{x}

$g(x)=\sqrt{x}$

h (x) = a / x

$h(x)=a/x$

x > 0

$x>0$

— Zen
kaynak

Zen cevap verdiğin için teşekkür ederim. Bu çok açıktı!

— Savage Henry