Kovaryans matrisini değişkenler için belirsizliklere dönüştürebilir miyim?

Ben ölçümü yoluyla kovaryans matrisi bir gürültü çıkaran bir GPS ünitesi var :$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

( dahil ancak bir saniye göz ardı edelim.)$t$

Bir başkasına her yöndeki doğruluğun ( ) bir sayı olduğunu söylemek istediğimi varsayalım . . Yani, bana , vb. . Anladığım kadarıyla bu durumda tüm ölçülerin birbirinden bağımsız olduğu anlamına gelir (yani kovaryans) matris diyagonaldir). Dahası, vektör hatasını bulmak, kareleme (karelerin toplamının karekökü) hataları eklemek kadar basittir.$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

Kovaryans matrisim çapraz değilse ne olur? ve yönlerinin etkilerini kapsayan basit bir sayısı var mı ? Bunun bir kovaryans matrisi verildiğini nasıl bulabilirim?$\mu_x^*$$y$$z$

Tüm kovaryans bilgisini kapsayan tek bir sayı yoktur - 6 bilgi parçası vardır, bu yüzden her zaman 6 sayıya ihtiyacınız olacaktır.

Ancak yapmayı düşünebileceğiniz birkaç şey var.

$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

$\mathbf{e}_i$

$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Dolayısıyla, ayrı ayrı ele alınan yönlerin her birindeki hata, kovaryans matrisinin köşegeniyle verilir. Bu sezgisel olarak anlamlıdır - eğer sadece bir yönü düşünürsem, o zaman sadece korelasyonu değiştirmek hiçbir fark yaratmamalıdır.

Sadece şunu belirtmekte haklısınız:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Bu üç ifade arasında herhangi bir korelasyon anlamına gelmez - her ifade kendi başına mükemmel doğrudur, ancak birlikte alındığında bazı bilgiler (korelasyon) bırakılmıştır.

Her biri aynı hata korelasyonuna sahip birçok ölçüm yapacaksanız (bunun ölçüm ekipmanından geldiğini varsayalım), o zaman zarif bir olasılık, kovaryans matrisinizi köşegenleştirmek için koordinatlarınızı döndürmektir. Ardından, artık ilişkilendirilmeyecekleri için bu yönlerin her birinde hataları ayrı olarak sunabilirsiniz.

Kareleme ekleyerek "vektör hatasını" almaya gelince, ne dediğini anladığımdan emin değilim. Bu üç hata farklı miktarlarda hatalardır - birbirlerini iptal etmezler ve bu yüzden onları nasıl ekleyebileceğinizi göremiyorum. Uzakta hata mı demek istiyorsun?