Heterossedastik ölçüm hataları olan AR (1) süreci

1. Sorun

Bir değişken bazı ölçümler , , kendisi için bir dağıtım olması ı varsayacağız basitlik için ortalama bir Gauss olan MCMC yoluyla elde edilen ve varyans . $y_t$ $t=1,2,..,n$ $f_{y_t}(y_t)$ $\mu_t$ $\sigma_t^2$

Bu gözlemler için fiziksel bir modelim var, diyelim , ancak kalıntıları ilişkili gibi görünüyor; özellikle, bir sürecinin korelasyonu hesaba katmak için yeterli olacağını düşünmek için fiziksel nedenlerim var ve olasılığa ihtiyacım olan MCMC yoluyla uyum katsayılarını almayı planlıyorum . Bence çözüm oldukça basit, ama pek emin değilim (o kadar basit gözüküyor, sanırım bir şeyleri özlüyorum). $g(t)$ $r_t = \mu_t-g(t)$ $AR(1)$

2. Olasılığın türetilmesi

Sıfır ortalaması işlemi şu şekilde yazılabilir: burada . Bu nedenle, tahmin edilecek parametreler (benim durumumda, modelinin parametrelerini de eklemeliyim , ancak sorun bu değil). Ancak gözlemlediğim, değişkenidir burada ve biliniyor ( ölçüm hataları). Çünkü bir Gauss süreçtir, aynı zamanda. Özellikle, biliyorum ki $AR(1)$

X_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t}, (1)

$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$

ε_{t} \sim N (0, σ_{w}^{2})

$\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$

θ = {ϕ, σ_{w}^{2}}

$\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$

g (t)

$g(t)$

R_{t} = X_{t} + η_{t}, (2)

$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$

η_{t} \sim N (0, σ_{t}^{2})

$\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$

σ_{t}^{2}

$\sigma_t^2$

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_t$

X_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}]),

$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$ bu nedenle, Bir sonraki zorluk, için elde . Bu rastgele değişkenin dağılımını türetmek için, eq. bir yazabilir kullanarak eq. ve eq. yazabilirim, Eq. bu son ifadede, ,

R_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2}) .

$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$

R_{t} | R_{t - 1}

$R_t|R_{t-1}$

t \neq 1

$t\neq 1$

(2)

$(2)$

X_{t - 1} = R_{t - 1} - η_{t - 1} . (3)

$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$

(2)

$(2)$

(1)

$(1)$

R_{t} = X_{t} + η_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t} + η_{t} .

$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$

(3)

$(3)$

R_{t} = ϕ (R_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$

R_{t} | R_{t - 1} = ϕ (r_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$ ve bu nedenle Son olarak, olabilirlik işlevini burada az önce tanımladığım değişkenlerin dağılımlarıdır, .ie, ve ,

R_{t} | R_{t - 1} \sim N (ϕ r_{t - 1}, σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}) .

$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$

L (θ) = f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) \prod_{t = 2}^{n} f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}),

$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

σ^{' 2} = σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2},

$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$

f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{' 2}}} exp (- \frac{r_{1}^{2}}{2 σ^{' 2}}),

$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$

σ^{2} (t) = σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}

$\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$

f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2} (t)}} exp (- \frac{(r_{t} - ϕ r_{t - 1})^{2}}{2 σ^{2} (t)})

$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$

3. Sorular

Türevim iyi mi? Simülasyonlar dışında (karşılaştırılacak gibi) karşılaştırılacak hiçbir kaynağım yok ve ben bir istatistikçi değilim!
süreçleri veya süreçleri için literatürde bu tür şeylerin herhangi bir türevi var mı? $MA(1)$ $ARMA(1,1)$ Genel olarak süreçleri için bu duruma özel olarak açıklanabilecek bir çalışma iyi olurdu. $ARMA(p,q)$

— Néstor
kaynak

Senin için tam olarak bir çözümüm yok. Ama bence bu bir çeşit hata-in değişken problemi. Bunu Thomas Sergent'in (1980'in kitabı) Makroekonomik Teoride gördüm. Ona bakmak isteyebilirsiniz.

— Metrikler

Giriş için teşekkürler, @Metrics. Kitabı kontrol edeceğim!

— Néstor

Yanıtlar:

Doğru yoldasınız, ancak verildiği dağılımını elde ederken bir hata : koşullu ortalama . Bu var , nerede senin en iyi tahmindir önceki döneme göre. Değeri önceki gözlemlere bilgileri hem de içerir . (Bir durumu düşünün, bu görmek için ve etkili ortalama sabit tahmin ediyoruz böylece, önemsizdir. Gözlemlerin bir sürü sonra, ilgili belirsizlik çok daha küçük olacak $R_t$ $R_{t-1}$ $\phi r_{t-1}$ $\phi \widehat{x}_{t-1}$ $\widehat{x}_{t-1}$ $X$ $\widehat{x}_{t-1}$ $r_{t-1}$ $\sigma_w$ $\phi$ $X$ $\sigma_{\eta}$ .) gözlemlemek çünkü bu, ilk başta kafa karıştırıcı olabilir olup . Bu sadece bir devlet-uzay modeli ile uğraştığınız anlamına gelir . $R$ $X$
Evet, Kalman filtresi adı verilen gürültülü gözlemlere sahip lineer-Gauss modellerini kullanmak için çok genel bir çerçeve var . Bu, ARIMA yapısı ve daha birçok modeli olan her şey için geçerlidir. Zamanla değişen stokastik olmaması koşuluyla Kalman filtresi için uygundur. Stokastik uçuculuğa sahip modeller daha genel yöntemlere ihtiyaç duyar. Kalman filtresinin nasıl türetildiğini görmek için Durbin-Koopman'ı veya Harvey'in 3. bölümünü deneyin . Harvey gösterimlerinde, modelinizde , , , , ve . $\sigma_{\eta}$ $Z=1$ $d=c=0$ $H_t = \sigma_{\eta,t}^2$ $T=\phi$ $R=1$ $Q=\sigma^2_w$

— Jamie Hall
kaynak

Merhaba Jamie, girişin için teşekkürler. Birkaç yorum: 1. Bundan emin değilim. Aslında bir çözüm olarak ilk girişimimdi ama hem sezgilerim hem de simülasyonlarım buna katılmıyor. Şey ben aslında olmasıdır gözlemlemek yok , ben gözlemlemek ; Ayrıca, (aritmetik olarak) ispat rastgele değişken koşullu ortalama o değildir (not ) aslında ? 2. Kalman filtresinin bu özel probleme uygulanmasını detaylandırabilir misiniz?

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_{t}$

R_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}

$R_{t}|R_{t-1}=r_{t-1}$

R_{t} | X_{t - 1} = x_{t - 1}

$R_{t}|X_{t-1}=x_{t-1}$

ϕ {\hat{x}}_{t - 1}

$\phi \hat{x}_{t-1}$

— Néstor

Merhaba Nestor, yorumlarınıza cevap vermek için cevabı düzenledim. Umarım yardımcı olur.

— Jamie Hall

Merhaba Jamie: İkinci nokta hakkında, sorun değil, teşekkürler :-)! Ancak yine de ilk noktanı göremiyorum. Beni resmi bir türeve yönlendirebilir misin? Özellikle, muhakememin hangi kısmının yanlış olduğunu (ve nedenini) bilmek istiyorum!

— Néstor

Bir adımı verilen dağılımı . S , burada ilk adımda ve , ve nin harmonik ortalamasının iki katıdır . (Bu, Bayesian'ın iki Gauss pdf'si ile güncellenmesi gibidir.) Denkleminiz (3) resmi olarak doğrudur, ancak yerine bunu kullanarak bilgi atıyorsunuz .

X_{1}

$X_1$

R_{1}

$R_1$

N (\frac{σ_{x, 1}^{2}}{(σ_{x, 1}^{2} + σ_{η, 1}^{2})} r_{1}, σ_{x, 2}^{2})

$N(\frac{\sigma^2_{x,1}}{(\sigma^2_{x,1}+\sigma^2_{\eta,1})} r_1, \sigma^2_{x,2})$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{x, 2}^{2}

$\sigma_{x,2}^2$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{η, 1}^{2}

$\sigma_{\eta,1}^2$

p (X_{t - 1} | R_{1 : t - 1})

$p(X_{t-1} | R_{1:t-1})$

— Jamie Hall

-1

Dürüst olmak gerekirse, bunu HATA veya STAN olarak kodlamalı ve oradan endişelenmemelisiniz. Bu teorik bir soru olmadıkça.

— DavidShor
kaynak

(-1) Bu yanıta; bu açıkça teorik bir sorudur ;-). Neden HATA veya STAN kodlamam gerektiğini düşündüğünüzü geliştirmeyi düşünün ve orijinal soru ile ne ilgisi var?

— Néstor