Kolmogorov – Smirnov testinin basit bir eşdeğerlik testi sürümü var mı?

Kolmogorov-Smirnov testi için, iki dağılımın en azından araştırmacı tarafından belirlenen bir seviyede farklılık gösterdiğini belirten negatif sıfır hipotezini test etmek için iki tek taraflı denklik testi (TOST) çerçevelendirildi mi?

TOST değilse, başka bir denklik testi formu mu?

Nick Stauner akıllıca stokastik eşdeğerlik ve daha kısıtlayıcı varsayımlarla medyan eşdeğerlik için sıfır hipotezleri için parametrik olmayan TOST eşdeğerlik testleri olduğunu (zaten bilmeliyim;) belirtmektedir.

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— Alexis
kaynak

İlgili: Normal olmayan veriler için eşdeğerlik testleri?

— Nick Stauner

Tamam, işte ilk denemem. Yakın inceleme ve yorumlar takdir!

İki Örnekli Hipotezler
İki örnekli tek taraflı Kolmogorov-Smirnov hipotez testlerini , bu satırlar boyunca null ve alternatif hipotezlerle çerçeveleyebilirsek :

H ve $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H , en az bir : $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

test istatistiği H ; $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
test istatistiği H ; ve $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
$F_{Y}\left(t\right)$ ve olan deneysel CDFs örnekleri arasında ve , $F_{X}\left(t\right)$ $Y$ $X$

bu satırlar boyunca bir denklik testi için genel bir aralık hipotezi oluşturmak makul olmalıdır (denklik aralığının şu an için simetrik olduğu varsayılarak):

H ve $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H , en az bir . $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

Bu, eşdeğerliği test etmek için belirli iki tek taraflı "negativist" null hipotezi anlamına gelir ( hem hem de kesinlikle negatif olmadığından bu iki hipotez aynı şekli alır ): $D^{+}$ $D^{-}$

H veya $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H . $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

Hem H hem de H nin reddedilmesi , kişinin . Tabii ki, eşdeğerlik aralığı ihtiyacı simetrik değil, ve ile değiştirilebilir (alt) ve , ayrı ayrı tek taraflı boş hipotezler için (üst). $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

Testi Sonuçları (Güncel: delta olan mutlak değeri işareti dışında)
test istatistikleri ve (ayrılan ve örtük) sırasıyla H ve H 'e karşılık gelir ve: $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

$D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$ , ve

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

Eşdeğerlik / Uygunluk Eşik
aralığı -veya , ara-olduğu birimi cinsinden ifade edilen asimetrik bir eşdeğerlik kullanılıyorsa ve veya farklı olasılıkların büyüklüğü. Olarak ve sonsuza yaklaşabilen hidrasyon suyu, bir CDF ya da için yaklaşımlar için ve için : $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$$ D ^ {+} $ CDF'si (veya $ D ^ {-} $)$

Bana öyle geliyor Yani örnek büyüklüğü ölçekli PDF o (veya örnek boyutu ölçekli ) olması gerekir için ve için : $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$$ D ^ {+} $ (veya $ D ^ {-} $) PDF$

Glen_b bunun ile bir Rayleigh dağılımı olduğuna dikkat çekiyor . Dolayısıyla, örnek boyutu ölçekli ve için büyük örnek kuantil işlevi şöyledir: $\sigma=\frac{1}{2}$ $D^{+}$ $D^{-}$

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

ve bir serbest seçimi kritik değer olabilir ve daha sıkı bir seçim kritik değer . $\Delta$ $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$

— Alexis
kaynak

Cdf'den pdf'ye geçtiğiniz sırada bence bu yanlış anladınız. Let , bu nedenle (kötüye gösterim), sınırında . Sonra ( sonraki dikkat edin ). (ayrıca türevin alınmasının üstündeki satırda eksik olan bir işareti de not edin. Ayrıca neden ayrılmaz bir sembolünüz olduğundan emin değilim, ama belki bir şeyleri yanlış anladım.)

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$

t

$t$

4

$4$

— Glen_b-Monica

@stochazesthai ve iki tek taraflı test istatistikidir. TOST başına, bu test istatistiklerinin uygulandığı sıfır hipotezini reddetmeniz gerekir. , yukarıdaki satırda CDF ' den kritik bir değerdir ve için vermek istediğinizde (örn. ). Seçimi ne kadar geçmiş bağlıdır (a düz eski pozitivist için kritik ret değeri sonuçlandırmak önce, gitmek gerekir) İlgili (örneğin liberal 'denklik' farkı olan

D_{1}

$D_{1}$

D_{2}

$D_{2}$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

^{- 1}

$^{-1}$

1 - α

$1-\alpha$

p

$p$

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$

Δ

$\Delta$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

H_{0}

$H_{0}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ ) ötesinde .

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

— Alexis

@stochazesthai (Devam ediyor) Hem hem de , reddedersiniz .

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$

— Alexis

@stochazesthai Hata! Ben iki yorum geri denklik yerine liberal kelime etrafında tırnak koymak gerekirdi . :)

— Alexis

@stochazesthai , , , yi reddedin . Eğer , daha sonra reddetme , eğer , daha sonra reddetme başarısız . Hem hem de reddederseniz, yı reddederseniz, aksi takdirde ı reddedemezsiniz .

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

— Alexis

Eşdeğerlik testinde TOST'a bir alternatif, güven aralığı yaklaşımına dayanmaktadır:

Let önceden belirlenmiş denklik marjı ve göstermek bilinmeyen temel dağılım fonksiyonları arasındaki Kolmogorov-Smirnov mesafesi. $\Delta$

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$

Şimdi, için% 90 güven aralığı tamamen içindeyse , "eşdeğerlik" ten bahsetmek için 0'a yeterince yakın olduğundan % 95 emin olabiliriz . $\theta$ $[-\Delta, \Delta]$ $\theta$

Temel dağılımları bilmeden, yaklaşık bir analitik güven aralığı türetmek umutsuz görünmektedir, bu nedenle ve çiftlerinden yeniden örneklemeye dayalı (önyargı düzeltmeli) bootstrap güven aralıklarına güvenmemiz gerekebilir . (Yine de bu uygulamada geçerliliği için koşullar bulmak istemiyorum ...) $X$ $Y$

— Michael M
kaynak

Mükemmel. (bootstrap veya başka türlü) yapan herkes için bir alıntı var mı?

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$

— Alexis

İyi bir nokta ... Kısa kağıt tomswebpage.net/images/K-S_test.doc, "Parametrik ve Parametrik Olmayan İstatistiksel Prosedürler El Kitabı, Beşinci Baskı, David J.Sheskin (27 Nis 2011)" den bahsediyor. D için iki örnekli bir vaka yapısı sunmak için. Ama şu anda bu kitaba erişemiyorum.

— Michael M