Birim kökü olmayan bir dizinin sabit olmadığı güzel bir örnek?

İnsanların artırılmış bir Dickey-Fuller testinde null değerini reddettiğini ve daha sonra serilerinin sabit olduğunu iddia ettiğini gördüm (maalesef, bu iddiaların kaynaklarını gösteremiyorum, ancak burada ve burada benzer iddiaların var olduğunu hayal ediyorum. bir veya daha fazla dergi).

Bunun bir yanlış anlama olduğunu iddia ediyorum (bir birim kökü null değerinin reddedilmesinin, sabit bir seriye sahip olmakla aynı şey olması gerekmez, özellikle alternatif durağanlık biçimleri nadiren araştırılır veya hatta bu tür testler yapıldığında dikkate alınır).

Ne aradığım:

a) İddiaya güzel açık bir karşı örnek (şu anda bir çift hayal edebiliyorum ama benden başka birisinin aklımdakinden daha iyi bir şeye sahip olacağına bahse girerim). Belki de verilerle (simüle veya gerçek; her ikisinin de avantajları vardır) belirli bir durumun açıklaması olabilir; veya

b) artırılmış bir Dickey-Fuller'daki retin neden durağanlık oluşturması olarak görülmesi gerektiğine ikna edici bir argüman

(hatta zeki hissediyorsanız (a) ve (b)

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

X_{n} = (- 1)^{n}

$X_n = (-1)^n$ olasılık 1 ile.

— kardinal

@cardinal Eh, bu kesinlikle ADF testi tarafından reddedilir (değiştir: evet, yapar) ve açıkça durağan değildir (birim çember üzerinde bir kök, ancak ADF'nin tespit ettiği 1'e eşit bir kök değil); böylece sayar.

— Glen_b

ADF testinin trendin dahil olduğu değişkenlere sahip olduğunu unutmayın. Null değeri reddedilirse, seri trend durağandır, yani eğilim kaldırılırsa durağandır, ancak yine de durağan değildir.

— mpiktas

+1. Glen_b, doğrusal bir eğilim + durağan AR (1) gürültüsü karşı örnek olarak sayılır mı?

— amip, Reinstate Monica

Yanıtlar:

İşte beyaz gürültü testinin bile algılayamadığı sabit olmayan bir seri örneği (bir Dickey-Fuller tip testi olsun):

Evet, bu şaşırtıcı olabilir, ancak bu beyaz gürültü değil .

Durağan olmayan karşı örneklerin çoğu, durağan ilk iki koşulun ihlaline dayanmaktadır: deterministik eğilimler (sabit olmayan ortalama) veya birim kök / heteroskedastik zaman serileri (sabit olmayan varyans). Bununla birlikte, sabit ortalama ve varyansa sahip sabit olmayan işlemleriniz de olabilir, ancak üçüncü koşulu ihlal ederler: otomatik kovaryans işlevi (ACVF) zaman içinde sabit olmalı ve bir tek. $cov(x_s, x_t)$ $|s-t|$

Yukarıdaki zaman serisi, sıfır ortalama, birim varyansa sahip olan, ancak ACVF zamana bağlı olan böyle bir serinin bir örneğidir. Daha kesin olarak, yukarıdaki işlem, sahte beyaz gürültü haline gelecek şekilde parametrelerle yerel olarak sabit bir MA (1) işlemidir (aşağıdaki Referanslara bakın): MA işleminin parametresi değişir zaman $x_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}$

θ_{1} (u) = 0.5 - 1 \cdot u,

$\theta_1(u) = 0.5 - 1 \cdot u,$

burada normalleştirilmiş süredir. Bunun beyaz gürültüye benzemesinin nedeni (matematiksel tanım gereği açıkça olmasa da), zamanla değişen ACVF'nin zamanla sıfıra entegre olmasıdır. Örnek ACVF, ortalama ACVF'ye yakınsadığından, örnek otokovaryansının (ve otokorelasyonun (ACF)) beyaz parazite benzeyen bir fonksiyona yaklaşacağı anlamına gelir. Yani bir Ljung-Box testi bile bu durağanlığı tespit edemez. Yerel olarak durağan alternatiflere karşı beyaz gürültünün test edilmesi hakkındaki çalışma (feragatname: yazarım), bu tür yerel olarak durağan süreçlerle başa çıkmak için Box testlerinin uzatılmasını önermektedir. $u = t/ T$

Daha fazla R kodu ve daha fazla ayrıntı için bu blog gönderisine de bakın .

Mpiktas yorumundan sonra güncelleme :

Bunun, pratikte görülmeyen teorik olarak ilginç bir durum gibi görünebileceği doğrudur. Bu tür sahte beyaz gürültüyü gerçek dünya veri kümesinde doğrudan görmenin olası olmadığını kabul ediyorum, ancak bunu sabit bir model uyumunun hemen hemen her kalıntısında göreceksiniz. Çok fazla teorik ayrıntıya girmeden, zamanla değişen bir kovaryans fonksiyonu olan genel bir zaman değiştiren model düşünün . Eğer sabit bir modeli uyuyorsanız , o zaman bu tahmin yakın gerçek modeli zaman ortalamasına olacak ; ve doğal olarak artıklar artık $\theta(u)$ $\gamma_{\theta}(k, u)$ $\widehat{\theta}$ $\theta(u)$ yapımı ile, (yaklaşık) sıfıra üzerinden entegre olur. Ayrıntılar için Goerg'e (2012) bakın. $\theta(u) - \widehat{\theta}$ $\widehat{\theta}$

Bir örneğe bakalım

library(fracdiff)
library(data.table)

tree.ring <- ts(fread(file.path(data.path, "tree-rings.txt"))[, V1])
layout(matrix(1:4, ncol = 2))
plot(tree.ring)
acf(tree.ring)
mod.arfima <- fracdiff(tree.ring)
mod.arfima$d


## [1] 0.236507

Biz parametre ile fraksiyonel gürültü sığacak Yani (beri biz düşünmek her şey gayet iyi ve biz sabit bir modeli var). Artıkları kontrol edelim: $\widehat{d} = 0.23$ $\widehat{d} < 0.5$

arfima.res <- diffseries(tree.ring, mod.arfima$d)
plot(arfima.res)
acf(arfima.res)

İyi görünüyor değil mi? Sorun şu ki, artıklar sahte beyaz gürültü . Nasıl bilebilirim? İlk olarak test edebilirim

Box.test(arfima.res, type = "Ljung-Box")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 1.8757, df = 1, p-value = 0.1708

Box.test.ls(arfima.res, K = 4, type = "Ljung-Box")
## 
##  LS Ljung-Box test; Number of windows = 4; non-overlapping window
##  size = 497
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 39.361, df = 4, p-value = 5.867e-08

ve ikincisi, literatürden, ağaç halkası verilerinin aslında yerel olarak durağan kesirli gürültü olduğunu biliyoruz: bkz. Goerg (2012) ve Ferreira, Olea ve Palma (2013) .

Bu, itirafla - teorik olarak görünen örneğimin, gerçek dünyadaki örneklerin çoğunda meydana geldiğini gösterir.

— Georg M. Goerg
kaynak

+1, çok güzel bir örnek! İlgileniyorum, ancak bu serinin gerçek yaşam örnekleri var mı?

— mpiktas

@mpiktas Yayına sorunuzu cevaplaması gereken bir güncelleme ekledim.

— Georg M. Goerg

γ_{1} (u) = θ (u)

$\gamma_1(u)=\theta(u)$

σ (u) σ (u - 1 / T) θ (u)

$\sigma(u)\sigma(u-1/T)\theta(u)$

{\hat{γ}}_{1}

$\hat\gamma_1$

\int_{0}^{1} θ (u) d u = 0

$\int_0^1\theta(u)du=0$

\int_{0}^{1} θ (u) σ^{2} (u) d u = 0

$\int_0^1\theta(u)\sigma^2(u)du=0$

σ (u)

$\sigma(u)$

θ (u)

$\theta(u)$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

Verilen örneğiniz, zamanla değişen modelimiz olduğunda, zamanla değişen olmayan modelin takılmasının yanlış çıkarımlara yol açacağını söylüyor. Ancak bu, her gerçek zaman serisinin zamanla değişen modelle modellenebileceğini söylemek değildir. Diğer yandan, zaman değişkenliğinin varlığını test etmek için testiniz uygulanabilir. İlginç bir fikir için tekrar teşekkürler.

— mpiktas

σ (u)^{2}

$\sigma(u)^2$

0.5

$0.5$

T \to \infty

$T \rightarrow \infty$

örnek 1

Güçlü negatif MA bileşenine sahip birim kök işlemlerinin ampirik boyutu nominal olandan çok daha yüksek olan ADF testlerine yol açtığı bilinmektedir (örn. Schwert, JBES 1989 ).

Y_{t} = Y_{t - 1} + ϵ_{t} + θ ϵ_{t - 1},

$Y_t=Y_{t-1}+\epsilon_t+\theta\epsilon_{t-1},$

θ \approx - 1

$\theta\approx-1$

$T(\hat\rho-1)$

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  y <- cumsum(arima.sim(n = n, list(ma = -0.98)))
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift", selectlags="Fixed",lags=12*(n/100)^.25))@teststat[1] < -2.89)
}
mean(rejections)

ÖRNEK 2

$Y_t$

Varyans değişiminin türüne bağlı olarak, ADF testi hala sık sık reddedilir. Aşağıdaki örneğimde, testin birimin kökünün boşluğunun reddine yol açarak serinin yakınlaştığına "inanması" için aşağı doğru varyans kopması var.

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  u_1 <- rnorm(n/2,sd=5)
  u_2 <- rnorm(n/2,sd=1)
  u <- c(u_1,u_2)
  y <- arima.sim(n=n,list(ar = 0.8),innov=u)
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift"))@teststat[1] < -2.89)      
}
mean(rejections)

(Bir yana, ADF testi, koşulsuz heteroskedastisite varlığında kendi asivtotik sıfır dağılımını "kaybeder".)

— Christoph Hanck
kaynak

@Glen_b, (umarım) ilk paragrafınıza bir cevap olabilir, ama gerçekten sorunuzun başlığı için değil - benim açımdan bir tutarsızlık veya anlayış eksikliği var mı?

— Christoph Hanck

"That" = Örnek 1

— Christoph Hanck

"Birim kök" ün ne olarak tanımlandığına bağlıdır. Başlangıçta "birim çember üzerindeki kök" (modül 1'in kökü) olarak öğrendim ama şimdi (ve ADF testi bağlamında ilgili) karakteristik polinomun aslında 1'e eşit bir kökü gibi görünüyor . Başlıkta yanlış bir anlam olsa bile, cevabınız istenen soruya cevap veriyor, bu yüzden iyi olduğunu düşünün.

— Glen_b

Demek istediğim muhtemelen açık bir şekilde ifade edilmiyor: Başlıkta "birim kökü olmayan" dizinin örneklerini ararken, ilk paragraf (bana göre) reddetmenin yanlış olduğu örnekleri aramak gibi geliyor. İlk örneğim, işlemin birim kökü olmasına rağmen ADF'nin reddetme olasılığı olan ikinci durum için bir örnektir.

— Christoph Hanck

Ah, üzgünüm, düzgün düşünmüyordum. Evet, kesinlikle başlığın her iki yorumuyla da uyumlu değil, ancak yine de vücuttaki daha geniş soruya cevap veriyor. (Başlıklar mutlaka daha az nüanslıdır, bu yüzden bu bir sorun değildir.) ... Bence bu çok ilginç bir cevap ve eğer bir şey gerçek amacımın başlığın istediğinden daha iyi hizmet ederse.

— Glen_b

Birim kök testi çok zordur. Bir test kullanmak genellikle yeterli değildir ve testin kullandığı varsayımlara çok dikkat etmelisiniz.

ADF'nin oluşturulma şekli, beyaz gürültü eklenmiş basit doğrusal olmayan eğilimler olan bir seriye karşı savunmasız hale getirir. İşte bir örnek:

library(dplyr)
library(tseries)
set.seed(1000)
oo <- 1:1000  %>% lapply(function(n)adf.test(exp(seq(0, 2, by = 0.01)) + rnorm(201)))
pp <- oo %>% sapply("[[","p.value")

> sum(pp < 0.05)
[1] 680

Burada üstel eğilim var ve ADF'nin oldukça kötü performans gösterdiğini görüyoruz. Birim kök null değerini zamanın% 30'unu kabul eder ve zamanın% 70'ini reddeder.

Genellikle herhangi bir analizin sonucu, serinin sabit olup olmadığını iddia etmek değildir. Analizde kullanılan yöntemler durağanlık gerektiriyorsa, serinin aslında olmadığında durağan olduğu varsayımı, genellikle bir şekilde ortaya çıkar. Bu yüzden şahsen analize bakıyorum, sadece birim kök test kısmına değil. Örneğin OLS ve NLS, durağan olmamanın ortalama olduğu, yani eğilimin olduğu sabit olmayan veriler için iyi çalışır. Dolayısıyla, bir kişi serinin sabit olduğunu ve OLS / NLS'yi uyguladığını yanlış iddia ederse, bu iddia ilgili olmayabilir.

— mpiktas
kaynak

p > 0.05

$p>0.05$

Ah evet, işaretleri karıştırdım. Cevabı buna göre düzelttim. Fark ettiğiniz için teşekkürler!

— mpiktas

Neden kullanmadın sapply(oo, "[[","p.value")?

— germcd

Bunu sadece boru sözdizimi ile kullandım. I like pipe :)

— mpiktas

Ben de dplyr'ı seviyorum. Bu kod için gereksizdir, magrittr yüklemesi yeterlidir.

— mpiktas