Bileşik simetrisi durumunda (0 + faktör | grup) ve (1 | grup) + (1 | grup: faktör) rastgele etki spesifikasyonlarının denkliği

Douglas Bates, aşağıdaki modellerin "vektör değerli rasgele efektler için varyans-kovaryans matrisinin bileşik simetri adı verilen özel bir formu varsa" eşdeğer olduğunu belirtir ( bu sunumdaki slayt 91 ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

Özellikle Bates bu örneği kullanır:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

ilgili çıkışlarla:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

Herkes modelleri arasındaki farkı açıklayabilir ve nasıl m1düşer m2sezgisel bir şekilde (verilen bileşik simetri)?

Bu örnekte, üç makinenin (A, B, C) ve altı işçinin her kombinasyonu için üç gözlem vardır. Ben kullanacağız bir göstermek için boyutlu kimlik matrisi ve bir ifade etmek için olanları boyutlu vektör. Diyelim ki gözlem vektörü, işçi tarafından sipariş edildikten sonra makine tarafından kopyalanacağını varsayıyorum. Let gelen beklenen değerler (örn sabit etkiler) ve izin beklenen değerler (ya da rasgele etkileri) grup özel sapmalar bir vektör olabilir. Üzerinde Şartlı , model yazılabilir:$I_n$$n$$1_n$$n$$y$$\mu$$\gamma$$\gamma$$y$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$$

burada "artık" varyanstır.$\sigma^2_y$

Rasgele etkilerin kovaryans yapısının gözlemler arasında bir kovaryans yapısını nasıl indüklediğini anlamak için , rasgele etkiler üzerine entegre olan eşdeğer "marjinal" temsil ile çalışmak daha sezgiseldir . Bu modelin marjinal şekli,$\gamma$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$$

Burada, yapısına bağlı olan bir kovaryans matrisidir (örneğin, rastgele etkilerin altında yatan "varyans bileşenleri"). "marjinal" kovaryans olarak değineceğim .$\Sigma$$\gamma$$\Sigma$

İçinde m1, rastgele etkiler şu şekilde ayrışır:

$$\gamma = Z \theta$$

Burada rastgele katsayıları gözlemlerle eşleyen bir tasarım matrisidir ve işçi ve makine tarafından sipariş edilen 18 kat rasgele katsayılar vektörüdür ve şu şekilde dağıtılır:$Z = I_{18} \otimes 1_3$$\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

$$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$$

Burada rastgele katsayıların kovaryansıdır. Varsayımı bileşik simetri aracı arayacağım o iki parametresi vardır ve ve yapısı:$\Lambda$$\Lambda$$\sigma_\theta$$\tau$

$$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$$

(Başka bir deyişle, altında yatan korelasyon matrisi, alt kenardaki tüm öğelere aynı değere ayarlanmıştır.)$\Lambda$

Bu rastgele etkilerin neden olduğu marjinal kovaryans yapısı , böylece belirli bir gözlemin varyansı ve ve makinelerinden gelen iki (ayrı) gözlem arasındaki kovaryans : $\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$$\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$$

Sizin için m2, rastgele etkiler ayrışır:

$$\gamma = Z \omega + X \eta$$

Z, daha önce olduğu gibi, , çalışan başına rastgele kesişmeleri gözlemlerle eşleyen bir tasarım matrisidir, , her makine ve işçinin kombinasyonu için rastgele 18 boyutlu vektörüdür; ve , çalışan için rastgele kesişimlerin 6 boyutlu vektörüdür. Bunlar Nerede bu rastgele kesişmelerin varyanslarıdır.$X = I_6 \otimes 1_9$$\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$$\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

$$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$$ $$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$$ $\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

Marjinal kovaryans yapısı m2olup , belirli bir gözlem varyansını böylece ve ve makinelerinden gelen iki gözlem arasındaki kovaryans : : $\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$$\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$$

Yani ... ve . Eğer (rastgele etkiler kovaryans yapılandırılmamış olduğu için, llmer için çağrı ile değil) kabul bileşik simetri. τ 2 ≡ σ 2 $\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$$\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$ m1

Kısalık benim güçlü noktam değil: bu, her modelin rastgele etkiler için iki varyans parametresine sahip olduğunu ve aynı "marjinal" modeli yazmanın sadece iki farklı yolu olduğunu söylemenin sadece uzun ve kıvrımlı bir yoludur.

Kodda ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2