Tekrarlanan önlemler ANOVA: normallik varsayımı nedir?

ANOVA'nın tekrarlanan ölçümlerinde normallik varsayımı hakkında kafam karıştı. Özellikle, ne tür bir normalliğin tam olarak karşılanması gerektiğini merak ediyorum. Literatürü ve CV hakkındaki cevapları okurken, bu varsayımın üç ayrı ifadesine rastladım.

Her (tekrarlanan) koşul içindeki bağımlı değişken normal şekilde dağıtılmalıdır.

RANOVA'nın ANOVA ve küresellik ile aynı varsayımlara sahip olduğu sıklıkla ifade edilir. Field's Discovering istatistiklerinde olduğu gibi Wikipedia'nın konuyla ilgili makalesinde ve Lowry'nin metninde de iddia budur .
Kalıntılar (olası tüm çiftler arasındaki farklar?) Normal şekilde dağıtılmalıdır.

Bu ifadeyi CV üzerine birden çok cevapta buldum ( 1 , 2 ). RANOVA'nın eşleştirilmiş t-testine benzetilmesi ile bu da sezgisel görünebilir.
Çok değişkenli normallik sağlanmalıdır.

Wikipedia ve bu kaynak bundan bahsediyor. Ayrıca, rANOVA'nın bu iddiayı hak eden MANOVA ile değiştirilebileceğini biliyorum .

Bunlar bir şekilde eşdeğer midir? Çok değişkenli normalliklerin DV'lerin herhangi bir doğrusal kombinasyonunun normal olarak dağıtıldığı anlamına geldiğini biliyorum , bu yüzden ikincisini doğru anlarsam doğal olarak 2. içerecektir.

Bunlar aynı değilse, RANOVA'nın "gerçek" varsayımı nedir? Bir referans verebilir misiniz?

Bana öyle geliyor ki ilk iddia için en fazla destek var. Bununla birlikte, bu genellikle burada verilen cevaplarla uyumlu değildir.

Doğrusal karışık modeller

@ Utobi'nin ipucu nedeniyle, şimdi rANOVA'nın doğrusal bir karma model olarak nasıl yeniden ifade edilebileceğini anlıyorum. Spesifik olarak, kan basıncının zamanla nasıl değiştiğini modellemek için beklenen değeri şu şekilde modelleyeceğim: burada kan basıncı ölçümleri, ortalama kan baskısı

E [y_{i j}] = a_{i} + b_{i} t_{i j},

$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

a_{i}

$a_{i}$

i

$i$ -inci konu ve

olarak

-inci zaman

-inci konusu ölçülmüştür

t_{i j}

$t_{ij}$

j

$j$

i

$i$

b_{i}

$b_i$ O belirten değişiklik kan basıncında da konuyla karşısında farklıdır. Her iki etki de rastgele kabul edilir, çünkü deneklerin örneği, birincil ilgi alanı olan popülasyonun sadece rastgele bir alt kümesidir.

Son olarak, bunun normalite için ne anlama geldiğini düşünmeye çalıştım, ama çok az başarı elde ettim. McCulloch ve Searle'ı (2001, s.35. Denk. (2.14)) açıklama yapmak için:

\begin{aligned} E [y_{i j} | a_{i}] & = a_{i} \\ y_{i j} | a_{i} & \sim i n d e p . N (a_{i}, σ^{2}) \\ a_{i} & \sim i . i . d . N (a, σ_{a}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$

Bunu demek için anlıyorum

4. her bireyin verilerinin normal olarak dağıtılması gerekir, ancak bu birkaç zaman noktasıyla test etmek mantıksızdır.

Bunu ifade etmek için üçüncü ifadeyi alıyorum

5. bireysel konuların ortalamaları normal olarak dağıtılır. Bunların yukarıda belirtilen üçün üstünde iki farklı olasılık olduğunu unutmayın.

McCulloch, CE ve Searle, SR (2001). Genelleştirilmiş, Doğrusal ve Karışık modeller . New York: John Wiley & Sons, Inc.

— Fato39
kaynak

size bir ipucu vermek için. RANOVA modelini Doğrusal Karışık Model (LMM) olarak belirtebilirsiniz. Bir LMM'niz olduğunda, derhal zımni normallik varsayımını görürsünüz. Burada (Bkz eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470073713.html LMMS bazı teorisi için)

— utobi

Sağladığınız referans için teşekkür ederim, @utobi! Gerçekten, ilk birkaç bölümünü inceledim, ancak sorumun cevabını anlayamadım. Yaptığım sınırlı ilerlemeyi yansıtacak şekilde güncelledim.

— Fato39

Bu benim için çok iyi bir soru gibi görünüyor. Açık bırakmak için oy veriyorum.

— gung - Monica'yı eski haline getirin

a_{i}

$a_i$

σ_{a}^{2}

$\sigma_a^2$

Yanıtlar:

Tek değişkenli bir model olarak ele alırsak, bu en basit tekrarlanan ölçümler ANOVA modelidir:

y_{i t} = a_{i} + b_{t} + ϵ_{i t}

$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$

$i$ $t$ $y_{it}$ $a_{i}$ $b_{t}$ $\epsilon_{it}$

$a_{i}$ $F$ $b_{1}=...=b_{t}=0$

$F$

ϵ_{i t} \sim N (0, σ) these errors are normally distributed and homoskedastic

$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$

için ek (daha sonuçsal) varsayımlar vardır $F$ -test'in geçerli olması vardır, çünkü bireyler satırlar arasında tekrarladığından verilerin birbirinden bağımsız olmadığını görebilir.

Tekrarlanan ölçümler ANOVA'yı çok değişkenli bir model olarak ele almak istiyorsanız, normallik varsayımları farklı olabilir ve onlara sizin ve benim Wikipedia'da gördüklerimizin ötesine geçemem.

— Heteroskedastik Jim
kaynak

Tekrarlanan ölçüm ANOVA'nın normalliğinin açıklaması burada bulunabilir:

SPSS çıktısının doğru yorumlanması için tekrarlanan ölçüm ANOVA varsayımlarını anlama

Kalıntılarda bağımlı değişkenlerin normallerine ihtiyacınız vardır (bu, regresyonda olduğu gibi, ortak varyans ve gruba bağlı ortalama ile tüm gruplarda normal bir dağılımı ifade eder).
Fark ettiğiniz gibi, çok değişkenli normallik, bağımlı değişkenlerin tüm doğrusal kombinasyonlarının normal olarak dağıtıldığını ima eder, bu nedenle tek değişkenlerin normallerinden daha güçlü bir kavramdır ( $3 \rightarrow 1$ ). Ancak, bunun artıkların normalliğini ima ettiğine ikna olmadım ( $3 \rightarrow 2$ ), verilen artıklar bağımsız değişkenler (ANOVA'daki gruplar) tarafından da belirlenir. Nokta için sana katılıyorum $5$ : Temel olarak normal dağılıma sahip bireysel düzeydeki rastgele bir efektten bahsediyorsunuz.

— Federico Tedeschi
kaynak

Federico, cevabın için teşekkürler. Ben bu açıklama farkındaydı (benim nokta numarası 2 ve orada referans ilk CV bağlantı bakınız). CV ile ilgili cevapların kalitesini takdir etsem de, farklı kaynaklara danışırken sorumun farklı (çelişkili?) Cevaplarına geldim. Bu nedenle, yukarıdaki beş noktamda bahsettiğim nüansları açık veya kesin olarak ele alacak bir kaynağı tercih ederim.

— Fato39