Hesaplanabilir bir sayının rasyonel veya tamsayı olup olmadığını test etmek mümkün müdür?

Hesaplanabilir bir sayının rasyonel veya tamsayı olup olmadığını algoritmik olarak test etmek mümkün müdür? Başka bir deyişle, uygular hesaplanabilir sayılar işlevleri sağlamak için bir kütüphane için mümkün olacağını isIntegerya isRational?

Bunun mümkün olmadığını ve bunun bir şekilde iki sayının eşit olup olmadığını test etmenin mümkün olmadığı gerçeğiyle ilgili olduğunu tahmin ediyorum, ancak bunu nasıl kanıtlayacağımı göremiyorum.

Düzenleme: Bir hesaplanabilir sayı bir fonksiyonu verilir f x ( £ değerinin ) bir rasyonel yaklaşımı dönebilirsiniz x hassas olan £ değerinin : | x - f x ( ϵ ) | ≤ ϵ , herhangi bir ϵ > 0 için . Böyle bir işlev verildiğinde, x ∈ Q veya x ∈ Z olup olmadığını test etmek mümkün müdür ?$x$$f_x(\epsilon)$$x$$\epsilon$$|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilon$$\epsilon > 0$$x \in \mathrm{Q}$$x \in \mathrm{Z}$

Gerçek bir sayıyı "temsil etmenin" veya "uygulamanın" ne anlama geldiği konusunda kafa karıştırmak kolaydır. Aslında, temsilin tartışmalı olduğu yorumlarda bir tartışmaya tanıklık ediyoruz. Önce bunu ele alalım.

Bir uygulamanın doğru olduğunu nasıl bilebiliriz?

Bilgisayarda bir şeylerin nasıl temsil edileceğini açıklayan teori gerçekleştirilebilirliktir . Temel fikir olduğunu, verilen bir dizi olduğu , bir veri türü seçmek t alınmak ve her için x ∈ X tipi bir değerler kümesi t alınmak fark o. Biz yazma v ⊢ x ∈ X zaman v farkında olduğunu bir değerdir x . Örneğin bir mantıklı uygulanması, (Ben sebepsiz Haskell kullanmak zorundadır) N veri türü olabilir nerede v ⊢ k ∈ N zaman $X$$\tau$$x \in X$$\tau$$v \vdash x \in X$$v$$x$$\mathbb{N}$Integer$v \vdash k \in \mathbb{N}$$v$ rakamını değerlendirir (bu nedenle özellikle doğal bir sayıyı temsil etmez ve birbirinden ayrılan bir programı da temsil etmez). Ancak bazı şakacı yürümek ve biz kullanmanızı öneririz olabilir doğal sayıları temsil etmek T r u e ⊢ 42 ∈ N ve F bir L ler e ⊢ n ∈ N için n ≠ 42 . Bu neden yanlış? Bir kritere ihtiyacımız var .$\overline{k}$-42Bool$\mathtt{True} \vdash 42 \in \mathbb{N}$$\mathtt{False} \vdash n \in \mathbb{N}$$n \neq 42$

"Joker numaraları" durumunda, kolay gözlem toplama işleminin uygulanamayacağıdır. Her ikisinde de temsil edilen iki sayım olduğunu söylüyorum . Toplamları için bir aydınlatıcı verebilir misiniz? Bu, toplamın 42 olup olmamasına bağlıdır, ancak söyleyemezsiniz. Toplama "doğal sayıların ne olduğunun önemli bir parçası" olduğundan, bu kabul edilemez. Başka bir deyişle, uygulama kümelerle değil, yapılarla ilgilidir , yani kümeleri, ilgili yapının da uygulanabileceği şekilde temsil etmeliyiz. Şunu vurgulayayım:$\mathtt{False}$

Çıplak setler değil, yapılar uyguluyoruz. Bu nedenle, uygulamanın doğru olması için tüm yapıyı operasyonlar ve tüm aksiyomlarla birlikte uygulayabilmeliyiz.

Bu ilkeye uymuyorsanız, alternatif bir matematiksel doğruluk kriteri önermelisiniz. Birini bilmiyorum.

Örnek: doğal sayıların gösterimi

Doğal sayılar için ilgili yapı Peano aksiyomları tarafından tanımlanır ve uygulanması gereken kritik aksiyom indüksiyondur (aynı zamanda , halef, + ve × ). Gerçekleşebilirliği kullanarak, tümevarım uygulamasının ne yaptığını hesaplayabiliriz. Bir harita olduğu ortaya çıkıyor ( doğal sayıları temsil eden henüz bilinmeyen veri türü)$0$$+$$\times$nat

induction : 'a -> (nat -> 'a -> 'a) -> 'nat -> 'a

tatmin edici induction x f zero = xve induction x f (succ n) = f n (induction x f n). Bütün bunlar gerçekleşebilirlikten geliyor. Bir kritere sahibiz: Peano aksiyomlarının uygulanmasına izin verdiğinde doğal sayıların uygulanması doğrudur. Biz funktor için başlangıç cebri olarak numaralarının karakterizasyonu kullanıldığında da benzer bir sonuç elde edilecektir .$X \mapsto 1 + X$

Reel sayıların doğru uygulanması

Gerçek sayılara ve eldeki soruya dikkat edelim. Sorulması gereken ilk soru "gerçek sayıların ilgili yapısı nedir?" Cevap: Arşimet Cauchy tam sıralı alanı . "Gerçek sayılar" ın yerleşik anlamı budur. Bunu değiştiremezsiniz, sizin için başkaları tarafından düzeltilmiştir (bizim durumumuzda alternatif Dedekind realitelerinin burada düşündüğümüz Cauchy realitelerine izomorfik olduğu ortaya çıkmaktadır.) "Eklemeyi uygulamakla ilgilenmiyorum" veya "siparişle ilgilenmiyorum" demenize izin verilmez. Bunu yaparsanız, buna "gerçek sayılar" dememelisiniz, "doğrusal sıralamayı unuttuğumuz gerçek sayılar" gibi bir şey söylemelisiniz.

Tüm ayrıntılara girmeyeceğim, ancak yapının çeşitli bölümlerinin gerçekler üzerinde nasıl çeşitli işlemler verdiğini açıklayayım:

• Arşimet aksiyomu yaklaşık işlem olup rasyonel reals yaklaşımları
• alan yapısı olağan aritmetik işlemleri verir
• doğrusal sipariş bize x < y test etmek için yarı değerli bir prosedür verir$x < y$
• Cauchy eksiksizliği bize fonksiyonu yerine lim : (nat -> real) -> realbir (temsilini) alır hızlı Cauchy dizisini ve sınır döndürür. ( Tüm m , n için | x n - x m | ≤ 2 dk. ( N , m ) ise dizisi hızlıdır .)$(x_n)_n$$|x_n - x_m| \leq 2^{\min(n,m)}$$m, n$

Elimizde olmayan şey , eşitlik için bir test fonksiyonudur. Aksiyomlarda realite için bunun karar verilebilir olmasını isteyen hiçbir şey yoktur . (Buna karşılık, Peano aksiyomları doğal sayıların karar verilebilir olduğunu ima eder ve bunu sadece eğlenceli bir egzersiz olarak kullanarak kanıtlayabilirsiniz ).$=$eq : nat -> nat -> Boolinduction

İnsanlığın kullandığı realitlerin olağan ondalık ifadesinin kötü olduğu bir gerçektir, çünkü onunla toplama bile uygulayamayız. Sonsuz mantis ile kayan nokta da başarısız olur (egzersiz: neden?). Bununla birlikte, işe yarayan , imzalı rakam temsilidir, yani, negatif rakamlara ve pozitif rakamlara izin verdiğimiz bir rakamdır. Veya yukarıda belirtildiği gibi hızlı Cauchy testini karşılayan rasyon dizilerini kullanabiliriz.

Tsuyoshi temsili de bir şey uygular, ancak $\mathbb{R}$

Bize reals aşağıdaki temsili düşünelim: Gerçek bir bir çift ile temsil edilir ( q , b ) ( q, n ) n, yakınsayan bir hızlı Cauchy dizisidir x ve b olup bir Boolean belirten x bir tamsayıdır. Bunun gerçeklerin bir temsili olması için, toplama uygulamak zorunda kalırız, ancak ortaya çıktığı gibi Boole bayraklarını hesaplayamayız. Yani bu gerçeklerin bir temsili değildir . Ama yine de bir şeyi temsil ediyor, yani Z ∪ ( R ∖ Z ) realitelerinin alt kümesi$x$$(q,b)$$(q_n)_n$$x$$b$$x$$\mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z})$. Gerçekten de, gerçekleşebilirlik yorumuna göre, sendikanın hangi kısmında olduğumuzu belirten bir bayrakla bir birlik uygulanır. Bu arada, hariç tutulan orta noktaya inanmadığınız sürece , , R ile eşit değildir. uygulanamaz ve bu nedenle bu tartışma için oldukça önemsizdir. Biz edilir bilgisayarlar tarafından zorla intuitionistically şeyler yapmak.$\mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z})$$\mathbb{R}$

Gerçeğin bir tam sayı olup olmadığını test edemeyiz

Son olarak, sorulan soruya cevap vereyim. Artık gerçeklerin kabul edilebilir bir temsilinin hızlı Cauchy rasyon dizileriyle bir olduğunu biliyoruz. (Önemli bir teorem, kabul edilebilir olan iki gerçek ifadesinin aslında hesaplanabilir şekilde izomorfik olduğunu belirtir.)

Teorem: Gerçeğin bir tam sayı olup olmadığını test etmek karar verilemez.

Kanıt. Bir gerçekin bir tamsayı olup olmadığını test edebileceğimizi varsayalım (elbette, gerçek hızlı bir Cauchy dizisi ile gerçekleşir). İsterseniz çok daha genel bir teorem kanıtlamanızı sağlayacak olan fikir, bir tamsayıya dönüşen tamsayı olmayanların hızlı Cauchy dizisini oluşturmaktır. Bu kolay, sadece x n = 2 - n al . Ardından, Durdurma sorununu aşağıdaki gibi çözün. Turing makinesi verilen T , yeni bir dizisini tanımlayan ( y , n ) , n ile y , n = { x , n ise  $(x_n)_n$$x_n = 2^{-n}$$T$$(y_n)_n$ Yani yeni dizisi dizi gibi görünüyor olduğunu(xn)nsüreceTishal, ama sonra at "sıkışmış" alırxmiseTadımm'dedurur. Çok önemli olarak, yeni dizi aynı zamanda hızlı bir Cauchy dizisidir (ve bunuT'nindurup durmadığınıbilmeden kanıtlayabiliriz). Bu nedenle, sınırını hesaplayabilirizz=limny

Alıştırma: yukarıdaki kanıtı rasyonel sayıları test edemeyeceğimizi göstermek için uyarlayın. Sonra, önemsiz olmayan bir şeyi test edemediğimizi göstermek için uyarlayın (bu biraz daha zor).

Bazen insanlar tüm bu test işi hakkında kafaları karışır. Onlar , gerçekliğin bir tam sayı olup olmadığını asla test edemeyeceğimizi kanıtladığını düşünüyorlar . Ama şüphesiz, 42 gerçektir ve bunun bir tamsayı olup olmadığını söyleyebiliriz. Aslında, bulduğumuz herhangi bir gerçek, , 88 ln 89 , e π $\sin 11$$88 \ln 89$ , vb., Tamsayı olup olmadığını mükemmel bir şekilde söyleyebiliriz. Kesinlikle,bizçünkü söyleyebilirimbizekstra bilgiye sahip: Bu realse dizileri olarak bize verilen değil, biz Tsuyoshi biraz hesaplayabilir hangi sembolik ifadeler olarak verilmez. Yakında gerçek hakkında sahip tek bilgilerin yanı kendisine yakınlaşan rasyonel yaklaşımları dizisidir (ve donotdizisini anlatan sembolik bir ifade, ama çıktılar bir kara kutu anlamınangirişi oyunu bırakanların terimininbiz o zaman) makineler kadar çaresiz olacak.$e^{\pi \sqrt{163}}$$n$$n$

Hikayenin ahlakı

Bir set üzerinde ne tür işlemler yapmak istediğimizi bilmedikçe, bir setin uygulanması hakkında konuşmak mantıklı değildir.

Bunun kararsız olduğunu düşünme eğilimindeyim:

Let hesaplanabilir bir irrasyonel sayı. Bir TM M düşünün . M'yi ϵ üzerinde çalıştıran ve paralel olarak x'i artan hassasiyetle hesaplayan bir işlev oluşturabilirsiniz . Eğer M alıkoymaların, bu işlem durur x aksi halde devam.$x$$M$$M$$\epsilon$$x$$M$$x$

Bu işlevin rasyonel bir sayı hesaplayıp hesaplamayacağına karar vermek durma problemine eşdeğerdir.

Bir gerçekin, sıfıra eğilimli bilinen bazı hesaplanabilir fonksiyonlarla sınırlanan hatayla rasyonel yaklaşımlar dizisi olarak verildiği (tüm bu yaklaşımlar eşdeğerdir ve gerçekler üzerindeki olağan topolojiye karşılık gelir).

Hesaplanabilir fonksiyonlar süreklidir. IsRational ve IsInteger sürekli değildir ve bu nedenle hesaplanamaz.

IsInteger yarı hesaplanabilir: giriş bir tamsayı değilse sonunda "false" çıktısını alacak, ancak girdi bir tamsayı ise sonsuza kadar çalışacak bir yordam vardır. Bu prosedür her bir yaklaşıma bakar ve bağlı hata içinde bir tamsayı olup olmadığını kontrol eder. Sierpiński topolojisini {true, false} (yani {false} açık bir kümedir, ancak {true} değil) üzerinde kullandığımızda bu işlev süreklidir.

Belirli bir hesaplanabilir sayının sıfıra eşit olup olmadığı doğrulanamaz .

(Yani rasyonel yaklaşım kâhin, denediğiniz her ε için 0 döndürür? Belki de yeterince küçük vermediniz ε.)

Bu nedenle, -½ ve + ½ arasında verilen bir hesaplanabilir sayının bir tamsayı olup olmadığına karar verilemez.

Hesaplanabilir bir fonksiyon sürekli olan fonksiyondan daha güçlüdür, yani herhangi bir hesaplanabilir fonksiyonun bilgi topolojisinde sürekli olması gerekir.

görmek istersiniz.$F:\mathbb{R} \to \{Yes,No\}$

hesaplanabilir.

Yazdıklarınıza benzer şekilde, gerçek sayıların kara kutular tarafından verildiğini ve gerçek bir sayı kara kutu varsayalım.$r$$\frac{k}{2^{n}}$$r \in [\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}]$$n$

O zaman işleviniz sürekli değildir ve bu nedenle hesaplanamaz.

$M$$0$$n$$[-\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^n}]$$M$$M$$m$$M$$[-\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m}]$$M$$M$$NO$$YES$$M$$[-\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m}]$ and $M$ will incorrectly answer $YES$ since it will get exactly the same information from the black-box. Therefore $M$ cannot solve the problem correctly.

The proof that any computable function needs to be continuous is similar.